Aloha :)
$$f(x)=\left\{\begin{array}{rl}x^2(x+1) &\text{falls }-1\le x\le1\\-x^2(x+1) &\text{falls }-2\le x<-1\end{array}\right.$$
Es gibt hier 3 Stellen, die wir mit den Mitteln der Differentialrechnung nicht auf Extremstellen untersuchen können. Das sind zum einen die Randpunkte des Definitionsbereichs \(x=-2\) und \(x=1\) und das ist die Stelle \(x=-1\), bei der die Betragsfunktion verschwindet. An allen 3 Punkten ist die Funktion nicht differenzierbar, aber definiert:$$f(-2)=4\quad;\quad f(-1)=0\quad;\quad f(1)=2$$Die Ableitungen, die wir bilden können, lauten:
$$f'(x)=\left\{\begin{array}{rl}x(3x+2) &\text{falls }-1<x<1\\-x(3x+2) &\text{falls }-2<x<-1\end{array}\right.$$Wir erkennen innerhalb der Definitionsbreiche zwei weitere Kandidaten für Extrema, nämlich bei \(x=0\) und bei \(x=-\frac23\) mit den Funktionswerten:$$f(-2/3)=\frac{4}{27}\quad;\quad f(0)=0$$
Da \(f(x)\ge0\) ist, liegen bei \(x=0\) und \(x=-1\) globale Minima vor. Der Funktionswert \(f(-\frac23)=\frac{4}{27}\) liegt zwischen diesen beiden Minima und muss daher ein (lokales) Maximum sein. Die beiden Werte \(f(-2)>0\) und \(f(1)>0\) an den Rändern liegen links bzw. rechts der beiden globalen Minima und müssen daher Maxima sein. Weil \(f(-2)=4\) größer ist als \(f(1)=2\), haben wir ein globales Maximum bei \(x=-2\) und ein lokales Maximum bei \(x=1\). Wir fassen zusammen:
$$f(-2)=4\quad\text{globales Maximum}$$$$f(-1)=0\quad\text{globales Minimum}$$$$f(-\frac23)=\frac{4}{27}\quad\text{lokales Maximum}$$$$f(0)=0\quad\text{globales Minimum}$$$$f(1)=2\quad\text{lokales Maximum}$$
~plot~ x^2*abs(x+1) ; {-2|4} ; {-1|0}; {1|2} ; {-2/3|4/27} ; {0|0} ; x=-2 ; x=1 ; [[-3|2|-0,5|5]] ~plot~
