Aloha :)
Na, das ist ja mal eine pathologische Funktion:$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}|x+3|-1 &\text{falls }-4\le x\le0\\x^3-6x^2+9x &\text{falls }0<x\le4\end{array}\right.$$
Da die Definitionsränder der Funktion bei \(x=\pm4\) gehören ausdrücklich zur Definitionsmenge. Allerdings ist die Funktion dort nicht differenzierbar, weil der Grenzwert des Differentialquotienten nur jeweils von einer Seite her gebildet werden kann (auf der anderen Seite ist ja nichts).
Weiter ist die Funktion an der Stelle \(x=0\) unstetig und daher nicht differenzierbar. Der Funktionswert ist klar definiert \(f(0)=2\). Für Stetigkeit müssen der links- und der rechtsseitige Grenzwert gleich diesem Funktionswert sein. Für den linksseitigen Grenzwert trifft das zu, denn wir nutzen dabei den oberen Fall für \(-4\le x\le0\). Für den rechtsseitigen Grenzwert erhalten wir jedoch \(0\), weil wir dafür den unteren Fall für \(0<x\le4\) betrachten müssen.
Weiter ist die Funktion an der Stelle \(x=-3\) nicht differenzierbar, weil die Betragsfunktion an der Stelle, wo sie null wird, nicht differenzierbar ist. Die Betragsfunktion hat dort eine "Spitze". Man kann an diesem Punkt keine eindeutige Steigung definieren. Soll man die Steigung der Geraden nach links oder die Steigung der Geraden nach rechts angeben?
Langer Rede kurzer Sinn, wir haben vier Punkte, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist:$$P_1(-4|0)\quad;\quad P_2(-3|-1)\quad;\quad P_3(0|2)\quad;\quad P_4(4|4)$$
\(P_1\) ist ein Maximum, weil für \(-4\le x\le-3\) die Funktion \(-(x+3)-1=-x-4\) lautet und eine fallende Gerade darstellt.
\(P_2\) ist ein Minimum, weil die Betragsfunktion dort ihren kleinsten Wert \(0\) annimmt.
\(P_3\) ist ein Maximum, weil der rechtsseitige Grenzwert \(0\) kleiner als der Funktionswert \(2\) ist.
\(P_4\) ist ein Maximum, weil würdest du den Definitionsbereich über die \(4\) hinaus erweitern, könntest du die Funktion ableiten und würdest eine positive Steigung feststellen. Da die Funktion aber bei \(x=4\) abrupt endet, kann sie nicht weiter steigen, sodass dort ein Maximum vorliegen muss.
So, jetzt müssen wir uns noch den Extrema zuwenden, die sich mittels der Differentialrechnung aufspüren lassen. Da der erste Fall linear ist und wir bereits alle Extrema mit \(-4\le x\le0\) angegeben haben, brauchen wir nur noch den unteren Fall weiter zu betrachten:$$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\quad;\quad0<x<4$$Wir finden zwei weitere Kandidaten für Extremwerte:$$P_5(1|4)\quad;\quad P_6(3|0)$$Die zweite Ableitung$$f''(x)=6x-12\quad;\quad0<x<4$$liefert \(f''(1)=-6<0\) und \(f''(3)=6>0\).
Damit ist \(P_5\) ein Maximum und \(P_6\) ein Minimum.
Wir fassen das graphisch zusammen:
~plot~ (abs(x+3)-1)*(x>=-4)*(x<=0) ; (x^3-6x^2+9x)*(x>0)*(x<=4) ; {-4|0} ; {-3|-1} ; {0|2} ; {1|4} ; {3|0} ; {4|4} ; [[-5|5|-2|5]] ~plot~
