Bestimmen Sie alle lokalen Minimalstellen der Funktion f: ℝ3 → ℝ mit

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Minimalstellen der Funktion $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$f(x, y, z)=x^{2}+x+3 x z+5 z+4 z^{2}+\cosh \left(y^{2}-1\right) \text {. }$

Problem/Ansatz:

komme nach der partiellen Ableitung nicht wirklich weiter

Answer 1

Aloha :)

Die Extremstellen einer Funktion$$f(x;y;z)=x^2+x+3xz+5z+4z^2+\cosh(y^2-1)$$finden wir dort, wo der Gradienten verschwindet:$$\vec 0\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}2x+1+3z\\2y\sinh(y^2-1)\\3x+8z+5\end{pmatrix}$$Die erste und die dritte Koordinate liefern ein Gleichungssystem für $x$ und $z$ mit der eindeutigen Lösung $x=1$ und $z=-1$.

Die zweite Koordinate erzwingt $y=0$ oder $y=\pm1$.

Es gibt also drei mögliche Kandidaten für Extrema:$$A(1|-1|-1)\quad;\quad B(1|0|-1)\quad,\quad C(1|1|-1)$$

Zur Überprüfung dieser Kandidaten berechnen wir die Hesse-Matrix bestehend aus allen 2-ten partiellen Ableitungen$$H(x;y;z)=\left(\begin{array}{c}2 & 0 & 3\\0 & 2\sinh(y^2-1)+4y^2\cosh(y^2-1) & 0\\3 & 0 & 8 \end{array}\right)$$und setzen darin unsere Kandidaten ein:$$H_A(1;-1;1)=\left(\begin{array}{c}2 & 0 & 3\\0 & 4 & 0\\3 & 0 & 8 \end{array}\right)\implies\text{Hauptminoren: }2;8;28\implies\text{pos. definit}$$$$H_B(1;0;1)=\left(\begin{array}{c}2 & 0 & 3\\0 & \frac1e-e & 0\\3 & 0 & 8 \end{array}\right)\implies\text{indefinit, da unterschiedliche Vorzeichen auf Diagonale}$$$$H_C(1;1;1)=\left(\begin{array}{c}2 & 0 & 3\\0 & 4 & 0\\3 & 0 & 8 \end{array}\right)\implies\text{Hauptminoren: }2;8;28\implies\text{pos. definit}$$

Es gibt also zwei lokale Minima bei $(1|\pm1|-1)$.