Question

Für die auf ganz ℝ definierten Funktionen bestimme man alle lokalen Extrema sowie Wendepunkte und alle Bereiche, in denen die Funktion links- bzw. rechtsgekrümmt ist.

(a) \( f(x)=\sin x \)

(b) \( g(x)=\left(x^{2}+3 x\right) e^{-2 x} \)

(c) \( h(x)=\tan x \)

Answer 1

(a) $$f(x)=\sin x \\ f'(x)=\cos x \\ f''(x)=-\sin x$$ 

Extrempunkte: $$f'(x)=0 $$

Wendepunkte: $$f''(x)=0 $$ 

(b) $$g(x)=(x^2+3x)e^{-2x} \\ g'(x)=(2x+3)e^{-2x}-2(x^2+3x)e^{-2x}=(2x+3-2x^2-6x)e^{-2x}=(-2x^2-4x+3)e^{-2x} \\ g''(x)=(-4x-4)e^{-2x}-2(-2x^2-4x+3)e^{-2x}=(-4x-4+4x^2+8x-6)e^{-2x}=(4x^2+4x-10)e^{-2x}$$ 

Extrempunkte: $$g'(x)=0 $$

Wendepunkte: $$g''(x)=0 $$ 

(c) $$h(x)=\tan x \\ h'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} \\  h''(x)=\frac{2 \cos x \sin x}{\cos^4}=\frac{2 \sin x}{\cos^3}$$ 

Extrempunkte: $$h'(x)=0 $$

Wendepunkte: $$h''(x)=0 $$

Answer 2

Extrema : Erste Ableitung = 0 setzen und auflösen . Dann schauen ob die Funktion an diesen Stellen in der zweiten Ableitung ungleich 0 ist.

Wendestellen: Zweite Ableitung = 0 und schauen ,ob dritte Ableitung ungleich 0 .

Links- und Rechtskrümmung: Wenn die zweite Ableitung > 0 ist,dann ist f linksgekrümmt. 

Falls die zweite Ableitung <0 ist ,dann ist f rechtsgekrümmt. (Die Wendestellen ändern das Verhalten von Links- und Rechtskrümmung.Also schaue dir an, wie der Graph sich zwischen den Wendestellen verhält)