Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f in zwei Veränderlichen mit

f(x,y) = cos(xy).

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f

Problem/Ansatz:

Meine Lösung ist -sin(x,y) - xy cos(xy).

ich weiß allerdings nicht ob dies richtig ist und würde gerne nach anderen Lösungen bitten

Vielen Dank lg

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=\cos(xy)$$

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung kannst du mit der Kettenregel direkt hinschreiben:$$\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin(xy)\cdot y\quad;\quad\frac{\partial f}{\partial y}=-\sin(xy)\cdot x$$

Die partiellen Ableitungen 2-ter Ordnung folgen ebenfalls mit der Kettenregel:$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=-\cos(xy)\cdot y^2\quad;\quad\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-\cos(xy)\cdot x^2$$Bei den gemischten Ableitungen 2-ter Ordnung brauchen wir auch noch die Produktregel:$$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\underbrace{-\sin(xy)}_{=u}\cdot\underbrace{y}_{=v}\right)=\underbrace{-\cos(xy)\cdot x}_{=u'}\cdot\underbrace{y}_{=v}+\underbrace{(-\sin(xy))}_{=u}\cdot\underbrace{1}_{=v'}$$$$\phantom{\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}}=-\cos(xy)\cdot xy-\sin(xy)$$$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\underbrace{-\sin(xy)}_{=u}\cdot\underbrace{x}_{=v}\right)=\underbrace{-\cos(xy)\cdot y}_{=u'}\cdot\underbrace{x}_{=v}+\underbrace{(-\sin(xy))}_{=u}\cdot\underbrace{1}_{=v'}$$$$\phantom{\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}}=-\cos(xy)\cdot xy-\sin(xy)$$