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Aufgabe:

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-7 x_{1}^{2}-5 x_{1} x_{2}-3 x_{2}^{2}+3 x_{1} x_{2}^{2}+3 x_{2}^{3} \)
an der Stelle \( \left(x_{1}, x_{2}\right)=(-2,1) \)
Die Hesse-Matrix \( f^{\prime \prime}(-2,1) \) hat folgende Einträge:
Die Determinante dieser Hesse-Matrix beträgt:
An dieser Stelle ist die Funktion:
f.1. konvex
f.2. konkav
f.3. weder konvex noch konkav


Problem/Ansatz:

x1= x x2=y

F'(x)= -14x -5y +3y^2.           F'(y)= -5x -6y + 6xy + 9y^2

F''(x) = -14                             F''(y)= -6 +6x + 18y

F''(xy)= 6y-5

Meine Hesse Matrix lautet:

-14    -30

-30.    24

und det. -1236

An dieser Stelle ist die Funktion konkav.

Bitte nochmals kontrollieren, ob meine Ergebnisse stimmen. Danke!

Avatar von

Hallo,

zunächst solltest Du die Ableitungen korrekt bezeichnen; ich weiß nicht, wie Ihr es macht.

Ich sehe auch nicht, wie Du zu den Zahlen kommst: Wenn \(f_{x,y}(x,y)=6y-5\) ist und x=-2 und y=1 eingesetzt wird, wieso erhältst Du -30?

Gruß Mathhilf

Habe meinen Fehler beim ableiten erkannt.

Meine Hesse Matrix lautet -14.   1

                                           1     0

und meine Det. -1

Somit müsste meine Determinante noch konkav noch konvex sein, denn

-14 < 0

0 = 0

-14* (0) -1*1 = -1 → -1 < 0

Richtig?

Hallo,

ja jetzt stimmt es

Gruß Mathhilf

1 Antwort

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Du kannst auch ein CAS verwenden, um Deine Ergebnisse zu überprüfen. Die Ableitungen, die Matrix und die Determinante:


blob.png

Avatar von 45 k

Also ist meine Funktion konkav oder?

Wieso meinst Du so?

Es wäre auch sinnvoll, wenn Du die Rückfrage von Mathhilf weiter oben beantwortest.

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