Question

Auf Grund des Gravitationsgesetzes beschreibt das Anfangswertproblem
mr''= −γ(Mm/r²⁾, r(0) = R, r'(0) = v₀
die Flugbahn eines Körpers der Masse m zur Erde hin bzw. von der Erde weg. Dabei ist r(t) der Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt zur Zeit t, M die Erdmasse, und die Gravitationskonstante ist mit γ bezeichnet.
(a) Forme geeignet um, und führe die Differentialgleichung in eine Differentialgleichung erster Ordnung über  entstehende Gleichung muss nicht gelöst werden. Berücksichtige die Anfangsbedingungen.
(b) Es soll die kleinste Geschwindigkeit v₀ (Fluchtgeschwindigkeit von der Erde, zweite kosmische Geschwindigkeit) ermittelt werden, für die die Bewegung bis ins Unendliche reicht, also nicht umkehrt. Dem entsprechen die beiden Forderungen r(t) → ∞ und r'(t) → 0 für t → ∞.
(M = 5.97 · 10²⁴ kg, γ = 6.673 · 10⁻¹¹ m3kg⁻¹s⁻², R = 6.370 · 10⁶ m)
(c) Löse das Anfangswertproblem, falls v₀ die zweite kosmische Geschwindigkeit ist.

danke im voraus

Answer 1

Aloha :)

Wir haben folgende Differentialgleichung gegeben:$$mr''(t)=-\gamma\,\frac{Mm}{r^2}\quad;\quad r(0)=R\;;\;r'(0)=v_0$$

a) Umformung in eine Differentialgleichung 1-te Ordnung

$$mr''(t)=-\gamma\,\frac{Mm}{r^2}\quad\bigg|\cdot r'(t)$$$$m\,r''(t)\,r'(t)=-\gamma\,Mm\,\frac{r'(t)}{r^2(t)}\quad\bigg|\text{integrieren}$$$$m\int\limits_{\tau=0}^t\,r''(\tau)\,r'(\tau)\,d\tau=-\gamma\,Mm\int\limits_{\tau=0}^t\frac{r'(\tau)}{r^2(\tau)}\,d\tau$$$$m\left[\frac{(r')^2(\tau)}{2}\right]_{\tau=0}^t=\gamma\,Mm\left[\frac{1}{r(\tau)}\right]_{\tau=0}^t$$$$\frac12m(r')^2(t)-\frac12mv_0^2=\gamma\,Mm\left(\frac{1}{r(t)}-\frac1R\right)$$

b) Fluchtgeschwindigkeit von der Erde bestimmen

Im Grenzübergang \(t\to0\), \(r(t)\to\infty\) und \(r'(t)\to0\) geht diese Gleichung über in:$$\frac12m\cdot0^2-\frac12mv_0^2=\gamma Mm\left(0-\frac1R\right)\implies\frac12mv_0^2=\gamma\,\frac{M\,m}{R}\implies v_0^2=\frac{2\gamma M}{R}\implies$$$$v_0^2=\frac{2\cdot6,673\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm m^3}{\mathrm{kg}\,\mathrm s^2}\cdot5,97\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}}{6,370\cdot10^6\,\mathrm m}\approx125\,079\,466\,\frac{\mathrm m^2}{\mathrm s^2}\implies$$$$ v_0\approx11,18\,\frac{\mathrm {km}}{\mathrm s}$$

c) Lösung des Anfangswertproblems

Ist nun \(v_0^2=\frac{2\gamma M}{R}\), vereinfacht sich die DGL aus (1) wie folgt:$$\frac12m(r')^2-\frac12m\frac{2\gamma M}{R}=\gamma\,Mm\left(\frac1r-\frac1R\right)\quad\bigg|\cdot\frac2m$$$$(r')^2-\frac{2\gamma M}{R}=\frac{2\gamma M}{r}-\frac{2\gamma M}{R}\quad\bigg|+\frac{2\gamma M}{R}$$$$(r')^2=\frac{2\gamma M}{r}\implies \sqrt r\,r'=\sqrt{2\gamma M}\quad\bigg|\text{integrieren}$$$$\int\limits_{\tau=0}^t r^{\frac12}(\tau)\,r'(\tau)\,d\tau=\int\limits_{\tau=0}^t\sqrt{2\gamma M}\,d\tau$$$$\left[\frac23 r^{3/2}\right]_{\tau=0}^t=\left[\sqrt{2\gamma M}\,\tau\right]_{\tau=0}^t$$$$\frac23\left(r^{3/2}(t)-R^{3/2}\right)=\sqrt{2\gamma M}\cdot t\quad\bigg|\colon R^{3/2}$$$$\frac23\left(\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}-1\right)=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R^3}}\cdot t=\sqrt{\frac{v_0^2}{R^2}}\cdot t=\frac{v_0\,t}{R}\quad\bigg|\cdot\frac32$$$$\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2}-1=\frac{3v_0\,t}{2R}\quad\bigg|+1\quad\bigg|(\cdots)^{2/3}\quad\bigg|\cdot R$$$$r(t)=R\,\left(1+\frac{3v_0\,t}{2R}\right)^{2/3}$$