Binomialverteilung einer Bluterkrankung

Question

Aufgabe:

Weltweit wird davon ausgegangen dass etwa 3,6 Fälle pro 1000000 Einwohnern einer speziellen Bluterkrankung auftreten. Die diskrete Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der erkrankten Personen in einer Stichprobe von 82500 Personen.

(i) Geben Sie 2–3 Argumente an, warum eine Modellierung mit Binomialverteilung sinnvoll ist.

(ii) Wie wahrscheinlich ist es, dass keine Person in der Stichprobe erkrankt?

(iii) Wie wahrscheinlich ist es, dass mehr als eine Person erkrankt?

(iv) Zeichnen Sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion für x∈{0,1,2,3,4}.

Problem/Ansatz:

i) Weil eine diskrete zufallsvariable und positive ergebnisse pro Einheit (einwohner) gegeben sind?

ii) n=82500 richtig? aber was setze ich in den rest der formel ein?

iii) Wenn mir jemand die ii) erklärt sollte ich die hier auch hinbekommen

Answer 1

(I)

- eine Person hat entweder eine Bluterkrankung oder keine.

- \( σ =  \sqrt{n*p*(1-p)} ≈ 0.54 \). Für eine Approximation mit der Normalverteilung muss σ  > 3 sein (die Stichprobe ist zu klein).

(II)

n = 82500, p = 3.6/1000000

p(X = 0) = (1-p)^n ~ 0.743044

(III)

p (X >= 1) = 1 - p(X = 0) ~ 0.256956

(IV)

p(X = k) = \( \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} p^k * (1-p)^{n-k}\)

Comments

Vielen Dank erstmal! Aber eine frage zur 3). In der Aufgabenstellung steht ja mehr als 1, müsste ich dann auch nicht P(X=1) abziehen?