Aufgabe:
Betrachten Sie in \( \mathbb{R}^{6} \) die folgenden beiden Untervektorräume:
\( U:=\left\langle\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 6 \\ 2 \\ 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right\rangle \quad V:=\left\langle\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)\right\rangle \)
Berechnen Sie \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} U, \operatorname{dim}_{R} V, \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(U+V) \) und \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(U \cap V) \).
Problem/Ansatz:
Ich habe gezeigt, dass die Vektoren in U und V linear unabhängig sind, also eine Basis der Länge 3 bilden. D.h.: \(dim U = 3 \) und \(dim V = 3 \). Jetzt möchte ich die Dimensionsformel anwenden und da fehlt mir natürlich noch entwerdern \(dim (U+V) \) oder \(dim (U \cap V) \). Ich habe mich für das berechnen von U+V entschieden.
\( U+V:=\left\langle\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 6 \\ 2 \\ 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)\right\rangle \)
Davon möchte ich jetzt eine Basis bestimmen, dazu erstelle ich folgende Matrix:
\( \left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 6 & 2 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 6 & 3 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 2\end{array}\right) \). Das Ding habe ich dann noch in ZSF gebracht:
\( \left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
Stellen jetzt die jeweils nicht-Nullzeilen der Matrix in ZSF eine Basis von U+V dar? Ist also die \(dim(U+V)=5 \)?
