Bestimmen Sie für die Unterräume U, W von V jeweils eine Basis für U ∩ W und U + W sowie dim(U ∩ W) un dim(U + W)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Unterräume U, W von V jeweils eine Basis für U ∩ W und U + W sowie dim(U ∩ W) un dim(U + W) :

V = R⁴, U = ⟨(-1,1,0,2),(1,1,1,2)⟩,

             W = {(a,b,c,d) ∈ R⁴  | a + b - 2c = 0 und a - 2b + d = 0}

ich habe den Basis von U ∩ W = {(0,2,1,4)} und dim(U ∩ W) = 1 gefunden.

=> dim(U+W) = dimU + dimW - dim(U∩W) = 2 + 2 - 1 = 3

Ist das richtig, falls ja, wie kann das Basis von U+W finden ?

Vielen Dank !

Answer 1

ich habe den Basis von U ∩ W = {(0,2,1,4)} und dim(U ∩ W) = 1 gefunden.

=> dim(U+W) = dimU + dimW - dim(U∩W) = 2 + 2 - 1 = 3

Das ist alles richtig !

Basis von U+W findet sich dadurch, dass man alle Erzeugenden von

U und W zusammen nimmt:

U+W =  ⟨(-1,1,0,2),(1,1,1,2),(-8,2,3,0),(-1,1,0,3)⟩

Jetzt aus den 4 Erzeugenden eine Basis bilden , z.B

die ersten drei .

Comments

Wie genau kommen sie auf die Vektoren (-8,2,3,0) und (-1,1,0,3)?

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Jetzt aus den 4 Erzeugenden eine Basis bilden , z.B

die ersten drei .

Wie berechnet man denn in diesem Fall die Basis?

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Wie genau kommen sie auf die Vektoren (-8,2,3,0) und (-1,1,0,3)?

Das sind die Erzeugenden der Lösungsmenge von

a + b - 2c = 0 und a - 2b + d = 0

Wie berechnet man denn in diesem Fall die Basis?

wenn man schon weiß: dim=3

dann brauchst du  nur 3 linear unabhängige aus dem

Erzeugendensystem zu wählen.