Berechnen Sie eine Basis von U ∩ V

Question

Seien U= ⟨u1,u2,u3⟩ ⊂ ℝ^4 und V= ⟨v1,v2⟩ ⊂ ℝ^4
wobei u1= (1, 0, 1, 1) u2= (1, 1, 2, 2) u3= (1, 1, 0, 1) und v1=(1, -1,1,-1) v2= (2, 2, 2, 3)

Berechnen Sie eine Basis von U ∩ V

Ich weiss nicht ganz genau was ich hier machen muss, erstmal alle Vektoren zusammen in eine Matrix stecken wahrscheinlich? Und wie erhalte ich dann die gesuchte Basis ?

Answer 1

Hallo :-)

wenn es ein \(v\in V\cap U\) gibt, dann gilt ja auch

$$ a\cdot v_1+b\cdot v_2+c\cdot v_3=v=d\cdot u_1+e\cdot u_5 \\\Rightarrow a\cdot v_1+b\cdot v_2+c\cdot v_3=d\cdot u_1+e\cdot u_5\\\Leftrightarrow a\cdot v_1+b\cdot v_2+c\cdot v_3-d\cdot u_1-e\cdot u_5=0\\\Rightarrow a\cdot v_1+b\cdot v_2+c\cdot v_3+d'\cdot u_1+e'\cdot u_5=0$$

In Matrix-Vektor-Form also:

$$\begin{pmatrix}1&1&1&1&2\\0&1&1&-1&2\\1&2&0&1&2\\1&2&1&-1&3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\\d'\\e'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

oder als erweiterte Koeffizientenmatrix

$$\left(\begin{array}{ccccc|c}1&1&1&1&2&0\\0&1&1&-1&2&0\\1&2&0&1&2&0\\1&2&1&-1&3&0\end{array}\right)$$

Answer 2

Aloha :)

Die Determinante aus \(\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3, \vec v_1\) ist ungleich \(0\), also sind diese 4 Vektoren linear unabhängig. Der Vektor \(\vec v_2\) liegt in der von \(\vec u_2\) und \(\vec u_3\) aufgespannten Ebene:

$$\begin{pmatrix}2\\2\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1\end{pmatrix}\quad\text{bzw.}\quad\vec v_2=\vec u_2+\vec u_3$$

Daher ist der Schnitt \(U\cap V\) eine Gerade durch den Urpsrung. Eine Basis ist \((2;2;2;3)^T\)