Finden Sie die zugehörige Abbildungsmatrix A_{π}

Question

\( \pi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right) \)

Finden Sie die zugehörige Abbildungsmatrix $$A_{π}$$

Kann mir jemand sagen, was genau gesucht ist und wie ich anfangen kann?

Answer 1

Aloha :)

Die gesuchte Matrix geht von \(\mathbb R^3\) nach \(\mathbb R^2\). Sie muss also \(2\) Zeilen und \(3\) Spalten haben:$$\pi\colon\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\mapsto\binom{v_1}{v_2}=v_1\binom{1}{0}+v_2\binom{0}{1}+v_3\binom{0}{0}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}}_{\eqqcolon A_\pi}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$$

Comments

Also will man quasi den Vektor (V_1,V_2) mit einer Matrix darstellen.

Und die Matrix erstellt man mit Hilfe von den Koordinaten des Vektors (V_1,V_2,V_3) und (V_1,V_2)?

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Ja genau. Die Komponenten \((v_1;v_2;v_3)\) sind die Eingangsgrößen in die Matrix. Diese Größen muss die Matrix so verarbeiten, dass am Ende die dritte Koordinate wegfällt. Da \(v_3\) als Eingangsgröße aber trotzdem berücksichtigt werden muss, multiplizieren wir sie mit dem Nullvektor, damit \(v_3\) im Ergebnis verschwindet.

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Also so:

$$\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\a_{2} & b_{2} &c_{2}\\  \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} v_{1}\\v_{2}\\v_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_{1}\\v_{2} \end{pmatrix}$$

Das muss ich jetzt nach a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2 umstellen oder?

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Genau, du musst die abc-Matrix nun mit Inhalt füllen. Wie das am einfachsten geht, habe ich oben vorgeführt.

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$$a_{1}*v_{1}+b_{1}*v_{2}+c_{1}*v_{3}=v_{1}$$

$$a_{2}*v_{1}+b_{2}*v_{2}+c_{2}*v_{3}=v_{1}$$

Kann man das überhaupt Lösen? Weil wir haben ja 6 gesuchte Variablen, aber nur zwei Gleichungen.

Aber wie hast du das herausgefunden? Durch Schafes hinsehen? Oder meine Rechnung hier.

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Ja klar kannst du das lösen.

$$1\cdot v_1+0\cdot v_2+0\cdot v_3=v_1$$$$0\cdot v_1+1\cdot v_2+0\cdot v_3=v_2$$

Erkennst du jetzt die Abbildungsmatrix wieder?

Ich habe einfach den Vektor \(\binom{v_1}{v_2}\) mit Hilfe der Standard-Basisvektoren \(\binom{1}{0}\) und \(\binom{0}{1}\) dargestellt, das hat mich dann zu der Abbildungsmatrix geführt.

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Ja jetzt sehe ich das. Kann man das auch rechnerisch machen? Oder würde das nut so durch Schafes hinsehen gehen?

Weil ich wäre jetzt nicht auf die Lösung gekommen.

Aber das Prinzip habe ich verstanden. Danke!

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Doch, du wärst auf die Lösung gekommen. Schau mal ein anderes Beispiel:

$$\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}2v_1+v_2\\v_1-v_2\\3v_1-5v_2\end{pmatrix}$$Den rechten Bildvektor zerlegst du in einzelnen Vektoren, die jeder nur eine Variable enthalten:$$\begin{pmatrix}2v_1+v_2\\v_1-v_2\\3v_1-5v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2v_1\\v_1\\3v_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_2\\-v_2\\-5v_2\end{pmatrix}$$Jetzt klammerst du die Variable aus:$$=v_1\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}+v_2\begin{pmatrix}1\\-1\\-5\end{pmatrix}$$und schon hast du die Abbildungsmatrix:$$A=\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & -1\\3 & -5\end{pmatrix}$$

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Danke dir! Gibst du Nachhilfe?