Geben Sie die Abbildungsmatrix A_{3} von g an und bestimmen Sie Kern, dim Kern und dim Bild

Question

Aufgabe:

(b) Gegeben ist die lineare Abbildung \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \),

\( \underline{g}:\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{r} x_{1}+a x_{2}-4 x_{3} \\ x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3} \\ -3 x_{1}-3 a x_{2}+6 a x_{3} \end{array}\right] \)

Geben Sie die Abbildungsmatrix \( \underline{\underline{A}}_{3} \) von \( \underline{g} \) an und bestimmen Sie Kern \( \underline{A}_{2} \), dim Kern \( \underline{A} \) und dim Bild \( \underline{A}_{g} \) in Abhängigkeit des Parameters \( a . \).

Ansatz:

Ich habe gelesen dass ich die Abbildungsmatrix nur bestimmen kann wenn die Matrix linear ist aber wie mache ich das hier. Ich kann mir jemand einen Teil der Aufgabe vorrechnen damit ich ein Schema für solche Aufgaben bekomme ?

Linearität prüfe man, glaub ich, mit f(x+yα) = f(x) +(yα) aber wie wende ich das hier an?

Answer 1

Hi, deine Frage klingt etwas planlos...

Die lineare Abbildung g ist durch ihre Abbildungsvorschrift angegeben. Es soll die Abbildungsmatrix bestimmt werden. Dazu müsste man Basen festlegen, was hier nicht geschehen ist, daher nehmen wir die Standardbasis des R^3 in ihrer kanonischen Ordnung an, also ( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ) (jeweils als Spaltenvektoren gedacht).

Die Abbildung g ist eindeutig festgelegt, wenn klar ist, was sie mit den Basisvektoren anstellt. Weiter bilden die Bilder der Basisvektoren die Spalten der Abbldungsmatrix. Nun solltest Du die Matrix bestimmen können.