Parameterdarstellung und bestimmen einer Basis von U, V, U ∩ V und U + V

Question

Aufgabe:

Parameterdarstellung einer Basis

Problem/Ansatz:

Es seien U := {x ∈ R ³ | _x1 + 2_x2 − _x3 = 0}  und V := {x ∈ R ³ | _x1 − 2_x2 + 2_x3 = 0} zwei Ebenen

a) Geben Sie eine mögliche Parameterdarstellung der Ebenen U und _V an.

b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von U, V, U ∩ V und U + V

Hey,

Ich hätte 2 Fragen zu diesem Problem. Soll ich für Parameterdarstellung U ( 1 2 1) , V (1 2 2) schreiben und direkt einen Graphen zeichnen? Und Soll ich das anhand der kanonischen Basis feststellen

LG

Answer 1

Hallo

nein die Parameterdaestelllung ist Aufpunkt + r *Richtungsvektor1+s*Richtungsvektor 2 , hier der Aufpunkt 0,

und (1,2,1) liegt nicht in U den 1*1+2*2-1*1≠0, U hat da nur eine Bedingung vorliegt die Dimension 2, da steht ja auch Ebene.

Gruß lul

Comments

Ach so! Aber warum 0? Hast du einen Lösungsvorschlag?

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Hallo

Weil (0,0,0) die Gleichung erfüllt, also in der Ebene liegt. suche 2 linear unabhängige Vektoren die die Bedingung erfüllen z.B. mal mit x1=0 mal mit x2=0

Gruss lul

Answer 2

Aloha :)

zu a) Alle Vektoren aus \(U\) erfüllen die Bedingung: \(x_1+2x_2-x_3=0\).

Diese stellst du nach \(x_1\) um: \(x_1=-2x_2+x_3\)

Und schreibst alle Vektoren aus \(U\) explizit hin:$$U\colon\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2+x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Das wiederholst du für \(V\) mit \(x_1-2x_2+2x_3=0\) bzw. \(x_1=2x_2-2x_3\)$$V\colon\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2-2x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$

zu b) Eine Basis zu \(U\) und \(V\) haben wir unter (a) bereits bestimmt. Es sind die jeweiligen Richtungsvektoren in der Ebenengleichung.

Ein Vektor \(\vec x\) aus der Schnittmenge \(U\cap V\) muss beide Bedingungsgleichungen erfüllen:$$(x_1=\green{-2x_2+x_3})\;\land\; (x_1=\red{2x_2-2x_3})\implies\green{-2x_2+x_3}=\red{2x_2-2x_3}\implies3x_3=4x_2$$Ein Punkt in der Schnittmenge \(U\cap V\) muss also zusätzlich zu \(x_1=-2x_2+x_3\) für die Mitgliedschaft in \(U\) noch die Bedinung \(x_2=\frac34x_3\) für die Mitgliedschaft in \(V\) erfüllen:$$U\cap V\colon\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2+x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\cdot\frac34x_3+x_3\\[1ex]\frac34x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12x_3\\[1ex]\frac34x_3\\x_3\end{pmatrix}=\frac{x_3}{4}\begin{pmatrix}-2\\3\\4\end{pmatrix}$$Die Schnittmenge \(U\cap V\) ist also eine Gerade, ein möglicher Basisvektor ist der gerade bestimmte Richtungsvektor dieser Geraden.

Da sich beide Ebenen \(U\) und \(V\) in einer Geraden schneiden, sind sie nicht parallel zueinander und überdecken gemeinsam den gesamten \(\mathbb R^3\). Daher ist \(\,U+V=\mathbb R^3\) und du kannst die kanonische Basis angeben.