Für den Innenkreisradius r gilt aufgrund der Formel von Heron:
r2=s(s−a)(s−b)(s−c) mit s=2a+b+c
Weiter gilt:
AY+CY+CX+BX+BZ+AZ=a+b+c=2s
Aufgrund der Symmetrie AY = AZ, BX = BZ, CX = CY folgt:
AZ+BX+CY=s
Daraus folgt:
AZ=s−BX−CY=s−(BX+CY)=s−(BX+CX)=s−a
BX=s−AZ−CY=s−(AZ+CY)=s−(AY+CY)=s−b
CY=s−BX−AZ=s−(BX+AZ)=s−(BZ+AZ)=s−c
Da YS, XS, ZS jeweils senkrecht auf a,b,c stehen folgt:
AS2=r2+AZ2=r2+(s−a)2=s1∗((s−a)(s−b)(s−c)+s(s−a)2)
BS2=r2+BX2=r2+(s−b)2=s1∗((s−a)(s−b)(s−c)+s(s−b)2)
CS2=r2+CY2=r2+(s−c)2=s1∗((s−a)(s−b)(s−c)+s(s−c)2)