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Aufgabe:

Sei ∆ ein Dreieck mit den Ecken A,B,C und den Seiten a,b,c in den Standard- Bezeichnungen. Weiter bezeichne Sw den Inkreismittelpunkt von ∆. Berechne die Abstande |ASw|, |BSw| und |CSw| in Termen von a, b, c.


Problem/Ansatz:

hättet ihr vielleicht eine Idee danke

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Für den Innenkreisradius r gilt aufgrund der Formel von Heron:

r2=(sa)(sb)(sc)s r^2 = \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s} mit s=a+b+c2 s = \frac{a+b+c}{2}

Weiter gilt:

AY+CY+CX+BX+BZ+AZ=a+b+c=2s AY + CY + CX + BX + BZ + AZ = a+b+c = 2s

Aufgrund der Symmetrie AY = AZ, BX = BZ, CX = CY folgt:

AZ+BX+CY=s AZ + BX + CY = s

Daraus folgt:

AZ=sBXCY=s(BX+CY)=s(BX+CX)=sa AZ = s - BX - CY = s - (BX+CY) = s - (BX+CX) = s - a

BX=sAZCY=s(AZ+CY)=s(AY+CY)=sb BX = s - AZ - CY = s - (AZ+CY) = s - (AY+CY) = s - b

CY=sBXAZ=s(BX+AZ)=s(BZ+AZ)=sc CY = s - BX - AZ = s - (BX+AZ) = s - (BZ + AZ ) = s - c

Da YS, XS, ZS jeweils senkrecht auf a,b,c stehen folgt:

AS2=r2+AZ2=r2+(sa)2=1s((sa)(sb)(sc)+s(sa)2) AS^2 = r^2 + AZ^2 = r^2 + (s-a)^2 = \frac{1}{s}*((s-a)(s-b)(s-c)+ s(s-a)^2)

BS2=r2+BX2=r2+(sb)2=1s((sa)(sb)(sc)+s(sb)2) BS^2 = r^2 + BX^2 = r^2 + (s-b)^2 = \frac{1}{s}*((s-a)(s-b)(s-c)+ s(s-b)^2)

CS2=r2+CY2=r2+(sc)2=1s((sa)(sb)(sc)+s(sc)2) CS^2 = r^2 + CY^2 = r^2 + (s-c)^2 = \frac{1}{s}*((s-a)(s-b)(s-c)+ s(s-c)^2)

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