Umformungen von Termen Quadratisches Mittel Verhältnis Wurzel

Question

Ich soll beweisen dass die Ungleichung a+b/2  <=  √((a²+b²)/2) wahr ist. Also dass das arithmetische Mittel kleiner oder gleich dem quadratischen Mittel ist

Ich habe als Ausgangspunkt das quadratische Mittel genommen und versucht umzuformen. Ich habe außerdem versucht die gesamte Gleichung zu quadrieren. Nichts hat mich irgendwie zu einem befriedigenden Ergebnis gebracht... Wie kann man da die Wurzeln richtig umformen?

Meine nächste Aufgabe bestand darin das Verhältnis vom Umfang eines Rechtecks und der Diagonale zu bestimmen. Der Umfang ist 2(a+b) und die Diagonale √(a²+b²). Also geht man von 2a+2b/ √(a²+b²) aus und muss das umstellen. Aber was soll ich da noch groß umformen oder vereinfachen? Wann genau bin ich fertig?

Vielleicht hat ja jemand einen Ansatz, ich würde mich freuen :)

Comments

Es soll $$\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$ heissen?

Answer 1

für alle \(a,b\in\mathbb R\) gilt \(0\le(a-b)^2\), was äquivalent ist zu$$\phantom{\Longleftarrow0}0\le a^2-2ab+b^2$$$$\Longleftrightarrow2ab\le a^2+b^2$$$$\Longleftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2$$$$\Longleftrightarrow(a+b)^2\le2(a^2+b^2)$$$$\Longleftrightarrow\frac{(a+b)^2}4\le\frac{a^2+b^2}2.$$MfG