Verhältnis bei DIN-A4-Blatt mit Diagonalen

Question

ich habe eine Frage, suche aber die Antwort und das könnte bei mit etwas länger dauern. Deshalb schreibe ich euch, um mal wieder etwas im Mathe zu verstehen, hier ist die Frage: Zeige, dass bei einem DIN-A4-Blatt ABCD das Lot von D auf die Diagonalen AC diese im Verhältnis 1:2 geteilt wird. Und bei welchen Rechtecken teil dieses Lot die Diagonale AC im Verhältnis 1:3?????

Ich danke schon mal im voraus für eure Antwort

Answer 1

Zeige, dass bei einem DIN-A4-Blatt ABCD das Lot von D auf die Diagonalen AC diese im Verhältnis 1:2 geteilt wird.

Skizze: 
Bekannt ist ja ( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/A4-Format )   h = b*√2

Dann gilt im rechtw. Dreieck ACD

AC² = 2b² + b²

also AC =  b*√3Und DF ist ja die Höhe in diesem Dreieck, also mit den Kathetensätzen:AD² = AF*AC   d.h.2b² = AF * b*√3

entsprechend mit dem anderen Kathetensatz   FC = b / √3  

Also AF  :  FC   =   2 : 1     q.e.d.

Answer 2

Jedes DIN-Blatt hat die Seitenlängen a und a√2. Daraus errechnet sich die Länge der Diagonale des Blattes d=a√3. Das Lot der Länge h von D auf die Diagonale d teilt diese in die Abschnitte x und a√3 - x. Dann gilt

h²=a²-(a√3 - x)²

h²=(a√2)² - x²

Eliminieren von h² durch Gleichsetzen führt zu einer Gleichung mit der Lösung x=2/3·a√3.

Die zweite Frage kann nach diesem Muster gelöst werden, wenn man die Sitenlängen a und b nennt und das Verhältnis a/b bestimmt.