Maximales Volumen einer sechseckigen Pyramide ohne Boden aus einem DIN A4-Blatt ?

Question

Hallo alle zusammen,

ich bin schon seit drei Tagen am knobeln über eine Aufgabe, die ich lösen muss und mir sehr unsicher bin.

Es geht um eine Pyramide mit einem gleichseitigen Sechseck als Grundfläche, dessen maximales Volumen wir bestimmen müssen, mit der Bedingung es aus einem DIN A4 Blatt zu formen.

Die „Pyramide“ kann aus einem Kreissektor geformt werden.

Die Grundfläche soll frei bleiben.

Das heißt wir brauchen sozusagen nur die Mantelfläche formen.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Vermutlich kannst du hier mal ein paar Formeln "stehlen". https://www.mathelounge.de/569876/hohe-eines-zeltes-berechnen-fur-ein-maximales-volumen

Wie weit kommst du damit?

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hast Du noch Interesse an einer Lösung?

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Hallo Werner hast Du was rechnerisches?

Ich habs mit einer Konstruktion probiert und hab dann die Werte

r = 9.65, h = 12.3

hin geruckelt um maximal viel Papier zu verbrauchen.

Den Zusammenhang zum Volumen hab ich net weiter verfolgt, weil nix mehr nach kam..

Hast Du einen Ansatz?

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Hallo wächter,

hast Du was rechnerisches?

Ja - habe ich. Allerdings mit einigen Fallunterscheidungen.

... geruckelt um maximal viel Papier zu verbrauchen.

nun - Papierverbrauch war nicht das Gütekriterium ;-). IMHO erhält man eine Pyramide mit maximalem Volumen, wenn man den geforderten Kreisbogen so ausschneidet:

Wobei \(x\) die freie Variable ist, die es einzustellen gilt, um das maximale Volumen zu erreichen. Es ist keineswegs so, dass \(x\) so klein sein muss, dass der Kreisbogen die Seiten des DIN-A4 Bogens berührt.

Gruß Werner

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Was ist denn Dein Optimum. Ich komm auf sowas wie

Es kommt sicher auf den Startpunkt der Abwicklung an...

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keineswegs so, dass x so klein sein muss, dass der Kreisbogen die Seiten des DIN-A4 Bogens berührt.

Warum sollte er auch, wo er doch sogar über die Seiten hinaus gehen kann.

Ich komme damit auf ein maximales Volumen von 996,934... cm³

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Hallo hj2166,

da bist Du ja wieder. Das ist doch eine Aufgabe nach unserem Geschmack  - oder!

Ich hab sogar etwas mehr heraus ... so ca. \(1007\text{cm}^3\). Aber nach der zeichnerischen Kontrolle komme ich in etwa in die Gegend von Deinem Wert. Ich suche den Fehler morgen ...

Hallo wächter,

Ich komm auf sowas wie ...

Da geht noch was:

... ist leicht schräg!

Gruß Werner

Answer 1

Ich generiere mal eine Antwort und versuche meine Konstruktion auch rechnerisch zu optimieren, quick and dirty;-). Dazu lasse ich den Solver f(r,h,dx) auf die Abwicklung mit dem Startpunkt E0 los:

α=ARCTAN(r / SQRT(4*h^2 + 3*r^2))*2

E0=(dx, 0)
E1=(dx + r, 0)
...
E(i)=E(i-1) + r (sin((180° - 2(i-1)α) / 2), cos((180° - 2(i-1)α) / 2))
V=r^2 *SQRT(3)*h / 2 ====> max

in den Nebenbedingungen achte ich darauf, dass die Koordinaten der Eckpunkte E(i)=(x,y) innerhalb des DINA4-Bereiches bleiben: 0<=x<=21, 0<=y<=29,7.

Damit komme ich auch auf das "leicht schräg" liegende Abwicklungsbild, allerdings nicht auf die von Werner und Gast hj2166 versprochenen Volumina.

Bin mal gespannt, wo da noch Platz für mehr Raum ist...

Comments

Platz für mehr Raum

Versuche Folgendes :
1. Startpunkt E_0 auf der langen Seite
2. Genauere Werte für die Maße von DIN-A4

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Genauere Werte für die Maße von DIN-A4

x=21, y=29,7 - genauer geht's nicht - siehe DIN A4.

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Ich hatte mit der Definition der DIN A - Reihe gearbeitet, die zu 21,02241 × 29,73018 führt.

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Und Du (Werner) sagst, dass eweng ruckeln nix bringt :-)

Vielleicht kann ein professioneller Zitronenfalter das Modell auch wie berechnet zusammen gekleben ;-)?

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Ich wollte ja noch mein Modell auf die hj2166 Variante anpassen - der Vollständigkeit halber:

r Sechseckseite, h Höhe Pyramide, s Länge Seitenkante, Winkel Seitendreieck an der Spitze. Stellgrößen: r,h,dx,dy, t=Position M  ===> max V

Interessant ist, dass die Mantelfläche mit dem Volumen zusammenhängt - korreliert. Der Solver findet die optimale Variante auch, wenn ich die Mantelfläche maximiere.

Volumenoptimal ist die Variante mit der Startecke E0(0,0.44) - diese Variante hab ich auch durchgerechnet und die rechnerischen Werte stimmen sehr gut mit den Werten der Simulation überein. Das bestätigt die Anwendbarkeit der Simulation über den Solver (Excel und auch Google-Tabs mit dem Frontline Systems Nonlinear-Solver für Desktop - Browser Apps). Ich bin von DINA4 (l x b ~ 21 x 29.7) ausgegangen.