Stereometrie mit Extremalproblemen Quadratische Pyramide maximales Volumen berechnen

Question

Aufgabe:

Einer quadratischen ( s = 10cm, h = 15 cm ) Pyramide soll ein Quader, der auf der Pyramidengrundfläche steht, eingeschrieben werden. Wie müssen die Kanten des Quaders gewählt werden, wenn a) sein Volumen maximal, b) seine Oberfläche maximal sein soll?

Problem/Ansatz:

Ich habe mal diese Skizze gemacht und wäre froh, wenn ihr mir sagen könnt, ob ich auf dem richtigen Weg bin, oder ob ich auf dem Holzweg bin. Ich versuche die Grundseite der Pyramide zu berechnen. Alles andere kann ich auch selber mit dem maximieren des Volumens.

Answer 1

Hallo Atorian,

Du hast angenommen, dass $s$ die Kante ist, die von den Ecken der Grundfläche zur Spitze der Pyramide führt. Das kann aber nicht sein, da hier $s \lt h$ ist. $s$ ist wahrscheinlich die Kante der Grundfläche.

Dein Ansatz ist ansonsten richtig. Du kannst es Dir aber einfacher machen, wenn Du in der 2D-Ansicht nicht den Schnitt in der Diagonale der Grundfläche betrachtest, sondern den senkrechten Schnitt parallel zur einer Seite der Grundfläche. Die Strecke $AB$ im Bild ist $s$, und die Strecke $MS$ ist $h$.

Wende den Strahlensatz an, um eine Beziehung zwischen der Höhe des Quaders und der Länge seiner (quadratischen) Grundseite aufzustellen.

Comments

Ich verstehe nicht. Ich habe immer noch zwei Unbekannte.

aWurzel2/ 10Wurzel2 = x/15

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Oder ist der Quader ein Würfel???

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Es sieht wie ein Würfel aus und auch alle Seiten sind ja Eckpunkte der Pyramide und demzufolge gleichweit entfernt..

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Der Quader hat eine quadratische Grundfläche,  da jeder waagerechte Schnitt durch eine quadratsche Pyramide wieder ein Quadrat ist.

Sei die Grundseite des Quaders $a$ und seine Höhe $b$, so ist sein Volumen $V$$$V = a^2 b$$ dies soll maximiert werden. Wenn $x$ das Stück zwischen der Oberseite des Quaders und der Spitze der Pyramide ist, dann ist$$\frac{a}{s=10} = \frac{x}{h=15} = \frac{h-b}{h}$$Dies gibt Dir eine Beziehung zwischen den Variablen $a$ und $b$.

Löse die Beziehung nach einer der Variablen auf und setze das Ergebnis in die Formel für das Volumen ein.

Answer 2

Hallo

 dein 2d Bild verstehe ich nicht, das Dreieck aus 2 Seiten s steht über der Diagonalen d der Grundfläche, es gilt also (d/2)²=s²-h². und d²=2a² wenn a die Grundseite ist .

Gruß lul

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Die Hypotenuse ist kleiner als die Höhe. Da stimmt doch was nicht