Optimierungsprobleme: Senkrecht quadratische Pyramide soll maximales Volumen haben.

Question

Vier Stangen von jeweils 4m Länge sollen das Gerüst eines Zeltes in Form einer senkrechten quadratischen Pyramide bilden. Gesucht ist das Zelt mit dem größten Volumen. Wählen Sie als Zielfunktion:

a) die Grundkante a

b) die Höhe h

c) den Neigungswinkel alpha
Es ist also die Größe der 4  Seitenkanten gegeben und natürlich ist Vmax gesucht... Aber wie gehe ich an diese Aufgabe heran?

Comments

Was meinst du mit dieser Auswahl? Zielfunktion müsste doch das Volumen sein.

a) die Grundkante a/√2 = s* cos ALPHA ==> a=√2 s * cos APHA

b) die Höhe h = s * sin ALPHA

c) den Neigungswinkel alpha

V = 1/3 * 2s^2 * cos^2 ALPHA * s * sin ALPHA

= 2s^3/3 * cos^2 ALPHA * sin ALPHA

ohne Gewähr. Hoffe du kannst das jetzt ableiten und Nullsetzen.

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Diese Auswahl sind Teile einer Aufgabe, die ich direkt aus meinem Buch übernommen habe...

Answer 1

Diese Auswahl sind Teile einer Aufgabe, die ich direkt aus meinem Buch übernommen habe...

Vermutlich sind einfach a, h, α und Vmax zu berechnen und anzugeben, denn wie bereits gesagt muss das zu maximierende Volumen die Zielfunktion sein.

NB:
s = (a/2)^2 + (a/2)^2 + h^2 = 4 → a^2 = 8 - 2·h^2

HB:
V = 1/3·a^2·h = 1/3·(8 - 2·h^2)·h = 8/3·h - 2/3·h^3
V' = 8/3 - 2·h^2 = 0 → h = 2/3·√3 = 1.155 m

a = √(8 - 2·h^2) = √(8 - 2·(2/3·√3)^2) = 4/3·√3 = 2.309 m

TAN(α) = h/(1/2·a) = (2/3·√3)/(1/2·(4/3·√3)) = 1 → α = 45°

Vmax = 1/3·a^2·h = 1/3·(4/3·√3)^2·(2/3·√3) = 32/27·√3 = 2.053 m³