Maximales Volumen einer Schachtel aus einem DIN-A4-Blatt (Extremwert)

Question

wir fangen in der Schule ein neues Thema an. Nach der allgemeinen Kurvendiskussion mit irgendwelchen Funktionen wollen wir diese Kurvendiskussion jetzt praktisch anwenden.

Wir haben zuerst aus einem DIN-A4-Blatt einige Schachteln gebaut und bemerkt, dass diese je nach Seitenlänge unterschiedliche Volumina aufweisen. Wir haben somit die Volumenformel allgemein mit x, statt einem Wert aufgeschrieben, sodass eine Funktion entsteht. Durch den Extremwert (xhp) sollten wir dann die Seitenlänge x bestimmen, die das maximale Volumen ergibt:

Vx = x(29-2x)(21-2x)

Als Funktion:

f(x)=x(609-58x-42x+4x^2)

f(x)=4x^3 - 100x^2 + 609x

Extremwerte mit f'(x)=12x^2-200x+609 -> xe1=12,662 und xe2=4,008

Prüfung auf HP/TP -> xhp = xe2 = 4,008

Die perfekte Seitenlänge ist x=4,008cm

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Ich habe dann das Volumen mit diesem x-Wert berechnet und es kam das höchste Volumen heraus, ein minimal kleinerer/höherer Wert ergab je ein kleineres Volumen.

Ich verstehe wohl, dass ich dieses Volumen als Funktion nehmen kann und dann die Kurvendiskussion damit ausführen kann, aber nicht recht was die jeweiligen Ergebnisse wir sagen. Da wir jetzt Ferien haben und das Thema nur gestern angefangen haben muss ich jetzt wohl selbst recherchieren :D

Dass der Hochpunkt die optimale Seitenlänge für ein Volumen angibt liegt denke ich daran, dass die Funktion ja ursprünglich einfach die Formel für die Berechnung war, also gibt ihr Verlauf einfach das Volumen (y) mit steigender Seitenlänge (x) an. Was aber würde mir z.B. ein Wendepunkt o.ä. bringen? Tiefpunkt kann ich mir denken, denn wenn der Hochpunkt das höchste Volumen zeigt, dann der Tiefpunkt wohl das geringste..

Answer 1

deine Ausführungen zum maximalen Volumen sind richtig. Als Formel für das Volumen hat  V(x) = 4x³ - 100x² + 609x  jedoch nur für positive Werte von V(x) mit x∈ ] 0 ; 10,5 [ einen Sinn. Das minimale "Volumen" ist 0. Es ergibt sich für die Randstellen des Intervalls.  Der Tief- und die Wendepunkte der Funktion haben in diesem Zusammenhang keine Bedeutung.

Gruß Wolfgang

Comments

Die Wendestelle ist die Stelle an der das Volumen mit jeder minimalen Erhöhung von x am stärksten abnimmt.

Ber Extremwertaufgaben sind allerdings eigentlich nur die Extremwerte interessant, weshalb Wendestellen meist nicht untersucht werden.

Hier noch eine Skizze des Graphens. Man sieht den Definitionsbereich von 0 bis 10.5 an deren Rändern das Volumen 0 wird recht gut. Auch das Maximum bei ca. 4 sieht man sehr gut.

~plot~ 4*x^3-100*x^2+609*x;[[0|11|0|1200]] ~plot~

Answer 2

 Da wir jetzt Ferien haben und das Thema nur gestern angefangen haben muss ich jetzt wohl selbst recherchieren :D

Schau wenn möglich in eines der gebräuchlichen Analysisbücher, das bei den Anwendungen alle Themenbereiche abdeckt. Du kannst auch auf deinen Tag Extremwertaufgaben klicken, findest dort aber vor allem Aufgaben, die den Leuten Probleme machten - und die teilweise auch falsch getaggt sind.

Dass der Hochpunkt die optimale Seitenlänge für ein Volumen angibt liegt denke ich daran, dass die Funktion ja ursprünglich einfach die Formel für die Berechnung war, also gibt ihr Verlauf einfach das Volumen (y) mit steigender Seitenlänge (x) an. 

Das ist richtig.

Was aber würde mir z.B. ein Wendepunkt o.ä. bringen? 

Dort hast du eine extreme (maximale oder minimale) momentane Änderung der Funktionswerte. D.h. für den Graphen maximale oder minimale Steigung (in Anwendungen im st-Diagramm z.B. max. oder min. Geschwindigkeit)

Tiefpunkt kann ich mir denken, denn wenn der Hochpunkt das höchste Volumen zeigt, dann der Tiefpunkt wohl das geringste.. 

Das ist wiederum richtig. Vorausgesetzt, es ist realistisch. In Anwendungen, kann es vorkommen, dass z.B. bei einer Schachtel x so rauskommt, dass eine Seitenlänge neg. wird. Da sind dann die Definitionsbereiche wichtig.

Answer 3

"Dass der Hochpunkt die optimale Seitenlänge für ein Volumen angibt liegt denke ich daran, dass die Funktion ja ursprünglich einfach die Formel für die Berechnung war, also gibt ihr Verlauf einfach das Volumen (y) mit steigender Seitenlänge (x) an."

Ich versuche mal, das Ganze in meinen Worten auszudrücken: Aus dem DIN-A4-Blatt wird an jeder Ecke ein Quadrat mit der Kantenlänge x herausgeschnitten. Die Volumenformel V(x) = x(29-2x)(21-2x) ordnet jedem x ein Volumen der entstandenen (nach oben offenen) Schachtel zu. Das Maximum dieser Funktion nennt dasjenige x, das herausgeschnitten werden muss, damit die Schachtel ein maximalesVolumen hat. Minimum und Wendepunkt sind hier uninteressant. x ist nicht irgendeine Seitenlänge der Schachtel.