Question

Zeigen Sie: Seien A,B,C Mengen und f : A → B und g : B → C Funktionen. Wenn die Funktionen g • f : A → C injektiv ist, so ist auch f : A → B injektiv.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben:\(\quad f:\;A\to B\quad;\quad g:\;B\to C\quad;\quad g\circ f\text{ ist injektiv}\).

Wir wählen \(a_1,a_2\in A\) aus, sodass \(f(a_1)=f(a_2)\) gilt.

Dann ist \(g(f(a_1))=g(f(a_2))\) bzw. \((g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2)\)

Da \(g\circ f\) nach Voraussetzung injektiv ist, gilt: \((g\circ f)(a_1)=(g\circ f)(a_2)\implies a_1=a_2\)

Das heißt: \(f(a_1)=f(a_2)\implies a_1=a_2\)

Also ist auch \(f\) injektiv.