Question

Bestimmen Sie die Niveaumenge Nf (1) := {(x,y) ∈ ℝ² | f(x,y) = 1}

(\( \frac{2x^2y}{x^4+y^2} \))^2

Problem/Ansatz:

1 = \( \frac{4x^4y^2}{(x^4+y^2)^2} \)| * (x^4+y^2)^2

(x^4 + y^2)^2 = 4x^4 * y^2 | -4x^4 * y^2

(x^4 + y^2)^2  - 4x^4 - y^2 = 0

x^8 + 2x^4y^2 + y^4 - 4x^4y^2 = 0

x^8 - 2x^4y^2 + y^4 = 0

(x^4 - y^2)^2 = 0 | Wurzel

x^4 - y^2 = 0  | + y^2

x^4 = y^2 | Wurzel

x^2 = |y| | Wurzel

x1 = - sqrt(y)

x2 = sqrt(y)

Ist meine Lösung so richtig?

Und wie löse ich diese Aufgabe für die Funktion

g(x,y) = \( \frac{y^3}{x^2+y^2} \)

1 = \( \frac{y^3}{x^2+y^2} \)  | * x^2 + y^2

x^2 + y^2  = y^3

x^2 + y^2  -y^3 = 0

Und wie geht es nun weiter?

Answer 1

Aloha :)

In dem Funktionsterm$$f(x;y)=\left(\frac{2x^2y}{x^4+y^2}\right)^2$$parametrisieren wir:$$x^2=r\cos\varphi\quad;\quad y=r\sin\varphi\quad;\quad\varphi\in\left[-\frac\pi2\big|\frac\pi2\right]\quad;\quad r\in(0;\infty)$$Der Winkelbereich für \(\varphi\) ist so gewählt, dass \(x^2\ge0\) ist. Beim Bereich für \(r\) müssen wir \(r=0\) ausgrenzen, weil sonst durch \(0\) dividiert würde.

Damit erhalten wir eine andere Darstellung der Funktion:$$f(x;y)=\left(\frac{2r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}\right)^2=\left(2\cos\varphi\sin\varphi\right)^2=\sin^2(2\varphi))\stackrel!=1\implies$$$$\sin(2\varphi)=\pm1\implies\varphi=\pm\frac\pi4\quad\text{(Beachte den erlaubten Winkelbereich für \(\varphi\))}$$

Damit haben wir die Niveaumenge für \(f(x;y)=1\) gefunden:$$x^2=r\cos\left(\pm\frac\pi4\right)=\frac{r}{\sqrt2}\quad;\quad y=r\sin\left(\pm\frac\pi4\right)=\pm\frac{r}{\sqrt2}\quad\leadsto$$$$N_f(1)=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\setminus\{(0;0)\}\,\big|\,y=\pm x^2\right\}$$

Comments

Dankeschön. Muss man das mit Polarkoordinaten lösen? Kann man nicht einfacher auflösen?

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Nunja, du kannst die Gleichung auch umformen zu:$$x^8-2x^4y^2+y^4=0\quad;\quad x\cdot y\ne0$$und musst dir merken, dass \(x\) und \(y\) nicht beide zugleich Null sein dürfen, daher \(x\cdot y\ne0\).

Wenn du die Lösung \((x\big|\pm x^2)\) mit \(x\ne0\) kennst (die kann man sogar durch die Technik des intensiven Hinsehens erraten), kannst du diese in die Gleichung einsetzen und prüfen, ob sie erfüllt wird.

Dann musst du aber noch zeigen, dass es keine weiteren Lösungen gibt.

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Ok, danke dir.

Wieso ist das denn bei dieser Funktion so aufwendig?

MathePeter hat mal für uns eine Altklausur inkl. selber Aufgabe bezüglich einer anderen Funktion gerechnet, der hat das viel einfacher und viel schneller, einfach durch Umstellen gelöst:

https://www.youtube.com/watch?v=TSykTfGAd6w

Direkt am Anfang, ab Minute 7.

Ich dachte, es gäbe immer ein Schema X, was immer geht?

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@Tschakabumba: Kannst du mir vielleicht wenn du Zeit hast noch meine Frage aus dem letzten Kommentar beantworten? Liebe Grüße

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Aber im Nenner steht doch x^4 und nicht x^2. Dann sind die Polarkoordinaten doch falsch eingesetzt von dir, oder nicht?

EDIT: ok, hast für x^2 die Polarkoordinaten eingesetzt, nicht für x.

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Nee, ich habe doch \(x^2=r\cos\varphi\) gesetzt und dann den Definitionsbereich von \(\varphi\) so eingeschränkt, dass \(\cos\varphi\ge0\) ist, weil ja \(x^2\ge0\) sein muss.

In dem Video wird eine völlig andere Funktion besprochen, bei der man eine binomische Formel anwenden und \(x\) und \(y\) sofort bestimmen kann, was Peter ja auch macht.

Eigentlich gibt es für solche Aufgaben kein Patentrezept. Es gibt zwei Rangehensweisen.

(1) Du schaffst es, die Lösung herzuleiten, wie ich in der Antwort hier gemacht habe. In einer Klausur sollte das der Regelfall sein, indem eine Gleichung herauskommt, die man etwa mit binomischen Formeln oder der pq-Formel eindeutig lösen kann. Das ist bei der Funktion in dem Video der Fall.

(2) Du errätst eine Lösung. Setzt sie ein und belegst damit ihre Richtigkeit. Dann musst du aber noch darlegen, dass es keine weiteren Lösungen gibt.

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Vielen Dank! Wie kann man denn belegne, dass es keine weiteren Lösungen gibt? Lohnt es sich zeitlich, diesen Weg zu wählen? In einer Klausur?

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Den Beleg braucht du ja nur, wenn du Lösungen erraten hast.

Wenn du die Lösung mathematisch herleiten kannst, hast du ja schon gezeigt, dass das die einzigen Lösungen sind und es keine weiteren gibt.

In der Klausur sollte es immer möglich sein, die eindeutige Lösung zu berechnen.

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Ok, super, danke dir. Das heißt, im Startpost die Rechnung für die zweite Funktion g(x,y) ist von mir so richtig?

Answer 2

Hallo

a) du kannst die Wurzel nicht ziehen, wenn der Radikand negativ ist

du hast direkt  für y>0  das Quadrat weglassen =1 und y<0 =-1

b) bist du fertig, lass dir die Kurve plotten, oder bestimme ein paar Punkte

der tiefste Punkt ist bei (0,1) und die Kurve ist symmetrisch zu x=0

Gruss