Wie viele Möglichkeiten gibt es die 10 Paarungen für die erste Runde zu gestalten?

Question

Aufgabe:

An einem Tennisturnier nehmen 20 Spieler teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es die 10 Paarungen für die erste Runde zu gestalten? Kommt nicht auf die Reihenfolge der Paarungen an, nur auf die Zusammensetzung dieser!

Problem/Ansatz:

muss man hier die Kombinatorik mit Wiederholung heranziehen?

n+k-1 über k also 20+10-1 über 10 ?

Answer 1

muss man hier die Kombinatorik mit Wiederholung heranziehen?

Wahrscheinlich ist es am besten, wenn man überhaupt keine fertigen Formeln heranzieht sondern sich die Berechnung der gesuchten Anzahl durch geeignete Überlegungen klarmacht :

1. Weg :
Der erste (beliebig ausgesuchte) Spieler kann gegen 19 andere antreten.
Der nächste noch freie Spieler kann gegen 17 noch nicht gesetzte Spieler antreten.
Der nächste noch freie Speler kann gegen 15 noch nicht gesetzte Spieler antreten.
...
Der nächste noch freie Speler muss den 1 letzten nehmen, der noch übrig ist.
Insgesamt gibt es also   19*17*15* ... *3*1  mögliche Zusammenstellungen.

2. Weg :
Die 20 Spieler stellen sich in einer Reihe auf, dafür gibt es 20! Möglichkeiten.
Dann zählen sie ab : 1 - 1 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 ... 9 - 10 - 10 , um die 10 Paarungen zu ermitteln.
Einige Zusammenstellungen werden allerdings mehrfach gezählt werden, z.B. wenn die beiden 7 - 7 ihre Plätze tauschen (2¹⁰ Fälle) oder wenn in anderer Reihenfolge der Zahlen 1 bis 10 abgezählt würde (10! Fälle), diese Mehrfach-Zählung wird durch Division berücksichtigt :
Insgesamt gibt es also 20! / (2¹⁰*10!)  mögliche Zusammenstellungen.

Man überzeuge sich durch Termumformung auch ohne Taschenrechner davon, dass beide Zählarten dasselbe Ergebnis liefern.

Comments

3. Weg

Eine Lösung, die bei weniger Gruppen auch brauchbar ist, ist die über Binomialkoeffizienten. Die ist hier aber unnötig lang.

(20 über 2)·(18 über 2)·(16 über 2)·(14 über 2)·(12 über 2)·(10 über 2)·(8 über 2)·(6 über 2)·(4 über 2)·(2 über 2)/10! = 654729075

Hier teilt man durch 10!, weil die 10 Paarungen nicht untereinander unterschieden werden.