Zeige mit dem hinrechenden Kriterium, dass fv eine Minimalstelle besitzt für beliebiges v∈V.

Question

Sei V ein reeller Vektrorraum mit Skalarprodukt S und zugehöriger Norm ||x|| = \( \sqrt{S(x,x)} \). Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt: |S(x,y)| ≤ ||x||*||y|| für x,y∈V

Außerdem ist U ein Teilraum von V. Für v∈V sei f_v:U → R gegeben durch f_v(u)= ||u - v||²

(a) Zeige mit dem hinrechenden Kriterium, dass fv eine Minimalstelle besitzt für beliebiges v∈V. Bestimmen Sie das notwendige Optimalitätskriterium und zeige damit, dass die Lösung eindeutig ist.

(b) Sei π(v) die eindeutige Lösung des Minimierungsproblems aus (a) zu gegebenem v∈V. Zeige mit Verwendung der notwendigen Optimalitätskriteriums, dass π eine lineare Abb. von V nach V ist. Zeige dass π die Eigenschaft π◦π=π besitzt. sowie Bild(π)=U erfüllt und damit eine Projektion auf U ist.

Comments

Ist mit "hinteichendem Kriterium" und "notwendiges Optimalitätskriterium" jeweils ein Satz draus Eurer aktuellen Vorlesung gemeint, welcher? Oder allgemein Kriterien aus der Analysis?

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Damit sind allgemeine Kriterien aus der Analysis gemeint. :)

Answer 1

Hallo,

es sei \(u_0 \in U\). Um zu prüfen, ob f in \(u_0 \in U\) sein Minimum annimmt, vergleichen wir mit allen anderen Elementen aus U. Dazu sei \(t \in \mathbb{R}\) und \(h \in U\):

$$\phi(t):=\|v-u_0-th\|^2=S(v-u_0-th,v-u_0-th)$$

$$=\|v-u_0\|^2-2tS(v-u_0,h)+t^2\|h\|^2$$

Notwendig für ein Minimum ist, dass \(\phi'(0)=0\), also \(S(v-u_0,h)=0\) für beliebiges \(h \in U\). D.h. \(v-u_0\) steht senkrecht auf \(U\). Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann gilt:

$$\|v-u_0-th\|^2=\|v-u_0\|^2+t^2\|h\|^2>\|v-u_0\|^2 \text{  für }t \neq 0,h\neq 0$$

Also nimmt f sein Minimum in diesem \(u_0\) an.

Eine Lösung wäre eindeutig: Wenn es 2 \(u_i\) gibt, die die notwendige Bedingung erfüllen:

$$\|u_1-u_2\|^2=S(u_1-u_2,u_1-v+v-u_2)=0$$

Wie steht es mit der Existenz? Wenn U endlichdimensional ist, kann man für U eine Orthonormalbasis \((b_1, \ldots,b_n)\) wählen und \(u_0\) explizit angeben:

$$u_0=\sum_{k=1}^nS(v,b_k)b_k$$

Gruß Mathhilf