Zeige, U^0 ist ein untervektorraum von V*

Question

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2. Aufgabe Sei \( V \) ein \( K \) -Vektorraum und sei \( U \) ein Unterraum von \( V \). Die Menge
\( U^{0}:=\left\{f \in V^{*} \mid f(u)=0 \quad \forall u \in U\right\} \)
heißt der Annihilator von \( U \). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
1.) \( U^{0} \) ist ein Untervektorraum von \( V^{*} \).
2.) Für Teilräume \( U_{1}, U_{2} \) von \( V \) gilt
a) \( \left(U_{1}+U_{2}\right)^{0}=U_{1}^{0} \cap U_{2}^{0} \)
b) \( U_{1} \subseteq U_{2} \Rightarrow U_{2}^{0} \subseteq U_{1}^{0} \).
3.) Ist \( W \) ein \( K \) -Vektorraum und \( f \in \mathcal{L}(V, W) \), so gilt \( \operatorname{Kern}\left(f^{*}\right)=(\operatorname{Bild}(f))^{0} \)

Hallo ihr lieben,

ich habe das Thema linearformen und bilinearformen, Dualraum und duale Basis und tue mich schwer damit. ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei der aufgäbe helfen könnte.

Answer 1

Für 1) verwende ein Unterraumkriterium, etwa

Uo nicht leer und für alle f,g aus Uo ist deren Summe auch

darin und für jedes c∈K auch c*f in Uo.

Uo nicht leer, weil die 0-Linearform O:V→K mit O(v) =0 für alle v∈V

in Uo ist.

Sind nun f,g in Uo, dann gilt für alle u∈U f(u)=0 und g(u) = 0

==>  (f+g) (u) = f(u) + g(u) = 0 + 0 = 0

also f+g in Uo.

Sei c∈K dann ist für alle u∈U (c*f)(u) = c*f(u) = c*0 = 0

also auch c*f in Uo.

2a) Zeige: Sei f ∈ (U1+U2)o dann auch f ∈ U1o + U2o .

Etwa so:

Sei f ∈ (U1+U2)o          dann gilt für alle u ∈ U1+U2     f(u)=0

Um zu zeigen, dass f ∈ U1o ∩ U2o muss man prüfen, ob

f ∈ U1o und f ∈ U2o gilt .

Da aber für alle u ∈ U1+U2    f(u)=0 ist, gilt insbesondere

für u1∈U1   f(u1) = f(u1+0 )  und weil u1+0 ∈ U1+U2

                  also f(u1) = 0 .

entsprechend für  u2∈U2. also  f ∈ U1o und f ∈ U2o gilt .

Dann noch umgekehrt

f ∈ U1o und f ∈ U2o ==>   f ∈ (U1+U2)o    . etc.