Linearer Teilraum eines Vektorraums beweisen.

Question

Aufgabe:

Sei X = {(a,b,c) ∈ R³: (a,b,c) = x(1,-3,5)+y(2,0,-3)} für reelle x,y

zz: X ist ein lineare Teilraum des Vektorraums R³ (oder widerlegen)

Problem/Ansatz:

Dafür muss ich die Vektorraum Axiome zeigen richtig?

Die kann ich lt. Internet runterkürzen auf 3 Bedingungen (ich hoffe ich habe das richtig verstanden)

neutrales element ist ein Element der Menge, die Additions ist abgeschlossen, die Skalarmultiplikation ist abgeschlossen.

Also:

Das neutrale Element (also der Nullvektor) ist auf jeden Fall teil der Menge X, weil für x und y = 0 ist (a,b,c) = (0,0,0) ✓

Bei der Addition tu ich mich leider schon schwerer, ich finde keinen wirklichen weg das für allgemeine x,y zu überprüfen / beweisen bzw. zu widerlegen

Bei der skalaren Multiplikation geht es mir ähnlich,

Hat jemand eine Idee, wie man das qualitativ beweisen / widerlegen könnte?

Grüße,

Tsub.

Answer 1

Hallo

 Addition nimm x1,y1 und x2,y2 addiere dann hast du y=y1+y2 wieder aus R und x1+x2 wieder aus r, genauso r*x1 aus R und r*y1 aus r.

 oder einfacher die 2 Vektoren sind linear unabhängig, deshalb bilden ihre Linearkombination einen UVR z.B mit der Basis der 2 Vektoren. ( anschaulich eine Ebene durch 0

Gruß lul