Aufgabe 1:
Gegeben sei die Menge \( \mathcal{E} \subseteq \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \)
\( \mathcal{E}:=\left\{x^{2}+1, x, x^{3}+x^{2}+x+1, x^{3}\right\} \)
(a) Begründen Sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass span( \( \mathcal{E} \) ) ein Teilraum des Vektorraums \( \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \) ist.
(b) Beweisen sie, dass die Vektoren in \( \mathcal{E} \) linear abhängig sind.
(c) Zeigen Sie, dass \( \left\{x^{2}+1, x, x^{3}+x^{2}+x+1\right\} \subset \mathcal{E} \) ein Erzeugendensystem von span( \( \mathcal{E} \) ) ist.
(d) Bestimmen sie eine Basis von span \( (\mathcal{E}) \) und geben sie die Dimension von span( \( \mathcal{E}) \) an.
Aufgabe 2:
Gegeben sei die Menge
\( V:=\left\{A \in \mathbb{R}^{2,2} \mid A \text { ist eine obere Dreiecksmatrix }\right\} \)
und
\( \mathcal{B}:=\left\{\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right)\right\} \)
(a) Zeigen Sie, dass \( V \) ein Teilraum des \( \mathbb{R}^{2,2} \) ist.
(b) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B} \) eine Basis von \( V \) ist.
(c) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor \( \left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 0 & 5\end{array}\right)_{B} \) des Vektors \( \left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 0 & 5\end{array}\right) \in V \) bzgl. der Basis \( \mathcal{B} \).
Ansatz/Problem:
in 1a) was ist mit kurz gemeint? reicht auch - Menge ist nicht leer, hat Einträge? Reichen als Teilraumkriterien - darf nicht leer sein, und Abgeschlossen bzgl Addition und Multiplikation. Reicht es als kurze Erklärung?
Was ist der span von E ? span(E):={4}? Weil 4 Vektoren in der Menge? und weil R nicht größer als 4? Nach Koeffizientenregel=4?
1b) 0 ist nicht die einzige triviale Lösung, und somit sind die Vektoren in E linear abhängig.
1c) und 1 d) komme ich nicht mehr weiter.
2a) sind alles Teilräume des R2,2 da alle Matrizen nicht leer sind, und 2,2 Matrizen sind.
2b) weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll.
