Zeigen Sie, dass V Teilraum des R_(≤3)[x] ist.

Question

Meine Lösungsansätze zu a) und b) :

Wäre das so richtig? Kann es sein dass V auch element von R ≤4[X] ist?

Kann mir einer bei den Aufgaben C und D helfen? Habe hierfür nicht mal einen Ansatz gefunden. Habe getestet ob sich V als linear Kombination mit den Elementen aus B schreiben lässt... bin daraus aber auch nicht schlauer geworden.

Answer 1

Wäre das so richtig? Kann es sein dass V auch Teilraum von R ≤4[X] ist?      JA

Kann mir einer bei den Aufgaben C und D helfen? Habe hierfür nicht mal einen Ansatz gefunden.
Habe getestet ob sich V als linear Kombination mit den Elementen aus B schreiben lässt
etwa so :
p aus V ⇒ p = ax^3 + cx + d
damit es eine Lin.Komb. der gegebenen El. ist, müsste gelten
                  p = u*x^3  + v*(   x^3 + x )   +  w* ( -2x^3 + 1)
                      = ( u + v - 2w ) * x^3 + v x  +  w 

also w=d  und   v = c   und  u + v - 2w= a

das ist für   w=d  und   v = c und  w = (c+d-a) / 2   erfüllt, also
ist  B ein Erz.syst. für V .

Außerdem sind die El. von B lin. unabh.; denn aus
u*x^3  + v*(   x^3 + x )   +  w* ( -2x^3 + 1)  = 0

folgt u = v = w = 0 .

d) wie bei c) im Teil
p = ax^3 + cx + d
damit es eine Lin.Komb. der gegebenen El. ist, müsste gelten
                  p = u*x^3  + v*(   x^3 + x )   +  w* ( -2x^3 + 1)
                      = ( u + v - 2w ) * x^3 + v x  +  w 

also w=d  und   v = c   und  u + v - 2w= a
hast du dann    w=3      v = -1      u + v - 2w= 5 also u = - 3,5

Also ist ( -3,5  ;  -1  ;   3  ) der KOO-Vektor