Zeigen, dass T_{1} ein Teilraum des ℂ^{3} ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2. Aufgabe

Gegeben sei die folgende Teilmenge des \( \mathbb{C}^{3} \) :
\( T_{1}=\left\{\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] \in \mathbb{C}^{3} \mid x_{1}=x_{2}-i x_{3}\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} . \)
a) Zeigen Sie, dass \( T_{1} \) ein Teilraum des \( \mathbb{C}^{3} \) ist.
b) Zeigen Sie, dass die Menge
\( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{c} i \\ 0 \\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -i \end{array}\right]\right\} \)
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von \( T_{1} \) bildet. Ist \( \mathcal{B} \) eine Basis von \( T_{1} \) ?
c) Bestimmen Sie die Dimension von \( T_{1} \).

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei der Aufgabe behilflich sein könnte

Liebe Grüße

Answer 1

Hallo

dass T1 in C3 liegt ist klar, du musst also nur Zeigen, dass es ein VR ist also die VR Axiome erfüllt.

b) kannst du jeden Vektor aus T1 mit B erzeugen, einfach zeigen, x2,x3 vorgeben x1 folgt daraus.

c) wenn B erzeugt und die 2 erzeugenden Vektoren Lin unabhängig sind ist T1 2 d

lul

Answer 2

\(T_1\) ist die Lösungsmenge des homogenen LGS
\(A\cdot x=0\) mit der einzeiligen Matrix \(A=(1,-1,i)\).

Die Lösungsmenge eines homogenen LGS in \(n\)

Unbekannten ist ein Vektorraum

der Dimension \(n-Rang(A)=3-1=2\).

Da die beiden Vektoren von \(B\) linear unabhängig sind

und in \(T_1\) liegen, spannen sie diesen Unterraum auf

und bilden daher eine Basis von \(T_1\).