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2. Aufgabe

Gegeben sei die folgende Teilmenge des C3 \mathbb{C}^{3} :
T1={[x1x2x3]C3x1=x2ix3}C3. T_{1}=\left\{\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] \in \mathbb{C}^{3} \mid x_{1}=x_{2}-i x_{3}\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} .
a) Zeigen Sie, dass T1 T_{1} ein Teilraum des C3 \mathbb{C}^{3} ist.
b) Zeigen Sie, dass die Menge
B={[i01],[12i]} \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{c} i \\ 0 \\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -i \end{array}\right]\right\}
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von T1 T_{1} bildet. Ist B \mathcal{B} eine Basis von T1 T_{1} ?
c) Bestimmen Sie die Dimension von T1 T_{1} .

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei der Aufgabe behilflich sein könnte

Liebe Grüße

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2 Antworten

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Hallo

dass T1 in C3 liegt ist klar, du musst also nur Zeigen, dass es ein VR ist also die VR Axiome erfüllt.

b) kannst du jeden Vektor aus T1 mit B erzeugen, einfach zeigen, x2,x3 vorgeben x1 folgt daraus.

c) wenn B erzeugt und die 2 erzeugenden Vektoren Lin unabhängig sind ist T1 2 d

lul

Avatar von 108 k 🚀
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T1T_1 ist die Lösungsmenge des homogenen LGS
Ax=0A\cdot x=0 mit der einzeiligen Matrix A=(1,1,i)A=(1,-1,i).

Die Lösungsmenge eines homogenen LGS in nn

Unbekannten ist ein Vektorraum

der Dimension nRang(A)=31=2n-Rang(A)=3-1=2.

Da die beiden Vektoren von BB linear unabhängig sind

und in T1T_1 liegen, spannen sie diesen Unterraum auf

und bilden daher eine Basis von T1T_1.

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