Warum muss der exponentielle Teil einer beschränkten Wachstumsfunktion immer eine exponentielle Abnahmefunktion sein?

Question

Aufgabe:

Warum muss der exponentielle Teil einer beschränkten Wachstumsfunktion immer eine exponentielle Abnahmefunktion sein ?

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Ich hätte vielleicht gedacht, weil die Differenz zwischen dem Anfangswert und der Schranke abnehmen muss, so dass die Differenz mit der Zeit verschwinden klein wird, damit der Anfangswert auf die Schranke ansteigen kann.

Answer 1

Du brauchst ja bei einem beschränkten Wachstum einen Grenzwert im Unendlichen. Der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte beider Summanden.

Eine exponentielle Zunahme hat aber keinen Grenzwert, die hat nur die exponentielle Abnahme. Daher muss ein Summand eine exponentielle Abnahme sein.

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Ich hätte vielleicht gedacht, weil die Differenz zwischen dem Anfangswert und der Schranke abnehmen muss, so dass die Differenz mit der Zeit verschwinden klein wird, damit der Anfangswert auf die Schranke ansteigen kann.

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Das weiß man aber erst wenn man weiß wie das beschränkte Wachstum über die Differentialgleichung definiert ist.

f'(t) = k·(G - f(t))

Das die Bestandsänderung proportional zur Differenz zum Grenzbestand erfolgt.

Meines wäre gleich aus der einfachen verschiebung einer Exponentialfunktion ersichtlich.

f(x) a + b * c^x

Wenn es jetzt einen Grenzbestand G gibt muss dafür gelten

lim (x → ∞) a + b * c^x = a + b * c^∞ = G mit c > 0 und c ≠ 1

Dies geht aber nur wenn c^∞ irgendwie 0 werden würde, denn ansonsten kann dort kein fester Wert herauskommen.