Durchschnittseinkommen deutscher Haushalte (Wahrscheinlichkeit)

Question

Hallo an alle,

schon mal vorab dank!

Ich komme hier einfach nicht drauf. Kann jemand weiterhelfen und mir die drei Schritte/Berechnungen erklären?! :)

*****************************************

Aufgabe:

Ein Haushalt gilt als arm, wenn er über weniger als 50% des bundesweiten Durchschnittseinkommens verfügt. Die Einkommen der Haushalte in Deutschland sind normalverteilt. Das Durchschnittseinkommen beträgt 3.000 € und die Standardabweichung 1.600 €.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkelt zufällig ein Haushalt auszuwählen, der unter diesen Annahmen
als arm gilt?
- Ab welchem Einkommen gehört ein Haushalt zu den obersten 10% mit dem höchsten Einkommen? (Antwort ganzzahlig gerundet -> z.B. 2800)

- Wie hoch ist die obere Grenze des zentralen Schwankungsintervalls zur Wahrscheinlichkeit 1-a = 0,9, für das Haushaltseinkommen? (wieder, ganzahlig gerundet)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Einkommensverteilung $E$ in Deutschland ist normalverteilt mit$$\mu=3000\,€\quad;\quad\sigma=1600\,€$$Als arm gilt man mit weniger als $1500\,€$.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkelt zufällig ein Haushalt auszuwählen, der unter diesen Annahmen
als arm gilt?

$$P(E<1500)=\phi\left(\frac{1500-\mu}{\sigma}\right)=\phi(-0,9375)\approx0,17425\approx17,43\%$$

Ab welchem Einkommen gehört ein Haushalt zu den obersten 10% mit dem höchsten Einkommen? (Antwort ganzzahlig gerundet -> z.B. 2800)

$$P(E>x)=0,1\implies P(E<x)=1-0,1=0,9\implies\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,9\implies$$$$\frac{x-\mu}{\sigma}=\phi^{-1}(0,9)\approx1,281552\implies x=1,281552\cdot\sigma+\mu\implies x=5050\,€$$

Wie hoch ist die obere Grenze des zentralen Schwankungsintervalls zur Wahrscheinlichkeit 1-a = 0,9, für das Haushaltseinkommen? (wieder, ganzahlig gerundet)

Das zentrale 90%-Intervall geht von $5\%$ bis $95\%$. Wir suchen die Obergrenze.$$P(E<x)=0,95\implies\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,95\implies$$$$\frac{x-\mu}{\sigma}=\phi^{-1}(0,95)\approx1,644854\implies x=1,644854\cdot\sigma+\mu\implies x=5632\,€$$