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Hallo an alle,

schon mal vorab dank!

Ich komme hier einfach nicht drauf. Kann jemand weiterhelfen und mir die drei Schritte/Berechnungen erklären?! :)

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Aufgabe:

Ein Haushalt gilt als arm, wenn er über weniger als 50% des bundesweiten Durchschnittseinkommens verfügt. Die Einkommen der Haushalte in Deutschland sind normalverteilt. Das Durchschnittseinkommen beträgt 3.000 € und die Standardabweichung 1.600 €.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkelt zufällig ein Haushalt auszuwählen, der unter diesen Annahmen
als arm gilt?
- Ab welchem Einkommen gehört ein Haushalt zu den obersten 10% mit dem höchsten Einkommen? (Antwort ganzzahlig gerundet -> z.B. 2800)

- Wie hoch ist die obere Grenze des zentralen Schwankungsintervalls zur Wahrscheinlichkeit 1-a = 0,9, für das Haushaltseinkommen? (wieder, ganzahlig gerundet)

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Einkommensverteilung EE in Deutschland ist normalverteilt mitμ=3000;σ=1600\mu=3000\,€\quad;\quad\sigma=1600\,€Als arm gilt man mit weniger als 15001500\,€.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkelt zufällig ein Haushalt auszuwählen, der unter diesen Annahmen
als arm gilt?

P(E<1500)=ϕ(1500μσ)=ϕ(0,9375)0,1742517,43%P(E<1500)=\phi\left(\frac{1500-\mu}{\sigma}\right)=\phi(-0,9375)\approx0,17425\approx17,43\%

Ab welchem Einkommen gehört ein Haushalt zu den obersten 10% mit dem höchsten Einkommen? (Antwort ganzzahlig gerundet -> z.B. 2800)

P(E>x)=0,1    P(E<x)=10,1=0,9    ϕ(xμσ)=0,9    P(E>x)=0,1\implies P(E<x)=1-0,1=0,9\implies\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,9\impliesxμσ=ϕ1(0,9)1,281552    x=1,281552σ+μ    x=5050\frac{x-\mu}{\sigma}=\phi^{-1}(0,9)\approx1,281552\implies x=1,281552\cdot\sigma+\mu\implies x=5050\,€

Wie hoch ist die obere Grenze des zentralen Schwankungsintervalls zur Wahrscheinlichkeit 1-a = 0,9, für das Haushaltseinkommen? (wieder, ganzahlig gerundet)

Das zentrale 90%-Intervall geht von 5%5\% bis 95%95\%. Wir suchen die Obergrenze.P(E<x)=0,95    ϕ(xμσ)=0,95    P(E<x)=0,95\implies\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,95\impliesxμσ=ϕ1(0,95)1,644854    x=1,644854σ+μ    x=5632\frac{x-\mu}{\sigma}=\phi^{-1}(0,95)\approx1,644854\implies x=1,644854\cdot\sigma+\mu\implies x=5632\,€

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