Funktionsgleichung aufstellen Polynomfunktion

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 3. Grades besitze bei x1 = -3 eine eine einfache und in x2 = 6 eine doppelte Nullstelle . f ( 4 ) = 14 . Wie lautet die Gleichung der Funktion ? Wo liegt der Schnittpunkt mit der y - Achse?

Comments

Wie viele von den 4 notwendigen Gleichungen konntest du selbst aufstellen?

Answer 1

Aloha :)

Die drei Nullsellen, geben die Form der Polynomfunktion vor:$$f(x)=a\cdot(x+3)\cdot(x-6)^2$$Die Konstante \(a\) folgt aus der Forderung \(f(4)=14\):$$14=f(4)=a\cdot7\cdot(-2)^2=a\cdot28\implies a=\frac12$$Daher lautet die Funktion:$$f(x)=\frac12\cdot(x+3)\cdot(x-6)^2$$

Speziell für \(x=0\) erhalten wir \(f(0)=54\).

Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist daher:\(\quad S(0|f(0))=S(0|54)\)

~plot~ 1/2*(x+3)(x-6)^2 ; {-3|0} ; {6|0} ; {0|54} ; {4|14} ; [[-4|8|-10|55]] ~plot~