Taylorapproximation Differenzierbarkeit Hilfe

Question

Aufgabe:

Hi Freunde, es geht um Aufgabe drei und vier.
Kann mir da bitte jemand helfen?

3. Aufgabe
Berechnen Sie für \( f(x)=\sqrt{2+x} \) die Taylorpolynome 2. und 4. Grades mit Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \). Bestimmen Sie dazu zunächst die \( n \)-te Ableitung von \( f \). Schätzen Sie den Approximationsfehler des Taylorpolynom 2. Grades für \( |x|<\frac{1}{2} \) ab.
4. Aufgabe
Gegeben sei die Funktion \( f(x)=e^{x} \cos (x) \). Approximieren Sie die Funktion \( f \) durch ihr Taylorpolynom 3. Grades mit dem Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) und zeigen Sie, dass der Fehler auf dem Intervall \( \left[-\frac{1}{100}, \frac{1}{100}\right] \) kleiner als \( 10^{-8} \) ist, d.h. \( \left|f(x)-T_{3}(x)\right| \leq 10^{-8} \), für alle \( x \in\left[-\frac{1}{100}, \frac{1}{100}\right] \).

Comments

Du könntest doch bei a schonmal 3 Ableitungen berechnen...

Answer 1

Ableitungen bei a) : Da bekomme ich:

\(  f ' (x) =   \frac{1}{2} (x+2)^{-\frac{1}{2}}  \)

\(  f '' (x) =  \frac{-1}{4} (x+2)^{-\frac{3}{2}}  \)

Für das Taylorpolynom 2. Grades sollte das

schon mal reichen.

T₂(x) = f(0) +  f ' (0) * x  +  f ' ' (0) *  x^2 / 2!

Setze ein und bestimme das Polynom. Dann

versuche mal Grad 4.