Aloha :)
Das gilt sogar schon in jeder Gruppe.
Eine Gruppe ist ein Paar \((G,\ast)\), bestehend aus einer Menge \(G\) und einer Verknüpfung \(\ast\) auf \(G\), für die folgende Regeln gelten:$$(1)\quad(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)\quad\text{für alle } a,b,c\in G$$$$(2)\quad\text{Es gibt ein \(n\in G\), sodass \(n\ast a=a\) für alle \(a\in G\) gilt.}$$$$(3)\quad\text{Zu jedem \(a\in G\) gibt es ein \(a'\in G\), sodass \(a'\ast a=n\) gilt.}$$
Dein Ausdruck \((a+(-a)=0)\) darauf verallgemeinert lautet:\(\quad a\ast a'=n\)
Das wollen wir nun mit den Regeln \((1)\), \((2)\) und \((3)\) zeigen...
Nach \((3)\) gibt es zu \(a'\) ein \(a''\) mit \(a''\ast a'=n\), daher gilt:$$a\ast a'\stackrel{(2)}{=}n\ast(a\ast a')\stackrel{(\text{s.o.})}{=}(a''\ast a')\ast(a\ast a')\stackrel{(1)}{=}a''\ast(a'\ast(a\ast a'))$$$$\phantom{a\ast a'}\stackrel{(1)}{=}a''\ast((a'\ast a)\ast a')\stackrel{(3)}{=}a''\ast(n\ast a')\stackrel{(2)}{=}a''\ast a'\stackrel{(\text{s.o.})}{=}n$$
Aus der Existenz eines links-inversen Elementes \(a'\) mit \((a'\ast a=n)\) folgt also, dass dieses Element auch rechts-invers ist, d.h. \((a\ast a'=n)\). Das gilt sogar dann, wenn die Gruppe nicht-kommutativ ist.
Damit gilt deine Vermutung insbesondere in jedem Körper.
