Bei einem Bürgerentscheid soll über ein Projekt entschieden werden. Die Stadt rechnet mit einer Zustimmung von mindestens \( 70 \% \). Die Gegner des Vorhabens wollen prüfen, ob die Zustimmung darunter liegt. Bei einer Befragung von 140 Bürgern sind 81 Personen für das geplante Vorhaben.
Lösen Sie folgende Teilaufgaben handschriftlich.
(i) Formulieren Sie aus Sicht der Gegner ein passendes Testproblem zum Signifikanzniveau \( \alpha=0.05 \).
(ii) Bestimmen Sie den dazugehörigen kritischen Wert \( c \) und geben Sie den Ablehnungund Annahmebereich der Nullhypothesse \( H_{0} \) an.
(iii) Kann aufgrund des Umfrageergebnisses die Nullhypothese \( H_{0} \) abgelehnt werden?
(iv) Berechnen Sie den Fehler 1. Art für den kleinsten Werte \( p \), für den die Nullhypothese gerade noch gilt und formulieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(v) Berechnen Sie den Fehler 2. Art für den Schätzwert \( \hat{p} \) und formulieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hinweis:
- \( X \sim \operatorname{Bin}(140,0.7): F(87)=0.0282, F(88)=0.0418, F(89)=0.0603 \),
- \( X \sim \operatorname{Bin}\left(140, \frac{81}{140}\right): F(69)=0.0251, F(70)=0.0368, F(71)=0.0526 \),
- \( X \sim \operatorname{Bin}\left(140, \frac{81}{140}\right): F(87)=0.8673, F(88)=0.9010, F(89)=0.9280 \).
