Zeigen Sie: lim an · bn = 0

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: lim an · bn = 0

Problem/Ansatz:

Seien (an)n eine Nullfolge und (bn)n eine beschränkte Folge in R

Answer 1

Aloha :)

\((b_n)\) ist beschränkt, d.h. es gibt ein \(M\in\mathbb R^{>0}\) mit \(|b_n|\le M\) für alle \(n\in\mathbb N\).

\((a_n)\) ist eine Nullfolge. Daher existiert für ein beliebig gewähltes \(\varepsilon>0\) ein \(n_0\in\mathbb N\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(|a_n-0|<\frac{\varepsilon}{M}\).

Damit erhalten wir:$$|a_nb_n-0|=|a_nb_n|=|a_n|\cdot|b_n|\le|a_n|\cdot M<\frac{\varepsilon}{M}\cdot M=\varepsilon$$Daher konvergiert die Produktfolge \((a_nb_n)\) gegen \(0\).