Bestimmen Sie eine Quadraturformel

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Quadraturformel
\( Q[f]=w_{0} f(0)+w_{1} f(\pi / 2)+w_{2} f(\pi) \)
zur Berechnung von
\( I[f]=\int \limits_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x, \)
die alle Funktionen des Raumes \( G=\operatorname{span}\{1, \sin x, \cos (x / 2)\} \) exakt integriert.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier an solche Aufgabe ran?

Danke für eure Hilfe :)

Comments

Achso! Oder kann ich hier einfach ein LGS aufstellen und dann nach wi lösen?

Also 1=I[1]=Q[1]= w0 + w1 +w2

2=I[sin(x)]=Q[sin(x)] = sin(0)w0 + sin(pi/2)w1 + sin(pi)w2

und das gleiche noch für cos(x/2)...?

Answer 1

Da \(Q \)und \(I \) linear sind, brauchen wir die Exaktheit nur für die Elemente der Basis untersuchen. Die Quadraturformel besitzt 3 unbekannte Parameter (die Gewichte ωi) , also benötigen wir auch 3 Gleichungen:

Erste Gleichung:

\(π=\int\limits_{0}^{π}1dx= I[1] = Q[1] = ω0 +ω1 +ω2 \)

Die anderen zwei Gleichungen ergeben sich aus:

\( I[sin(x)] = Q[sin(x)] \) und \( I[cos(x/2)] = Q[cos(x/2)] \)   

Danach das Gleichungssystem für die ωi lösen.

Answer 2

Hallo

ja es sind einfach  3 lineare Gleichungen für die W, allerdings ist das Ergebnis nich 1,2 sonder  das Integral \( \int\limits_{0}^{\pi} 1dx\), \( \int\limits_{0}^{\pi} sin(x)dx\)usw.

oder meintest du mit 1= einfach 1. also erstens, dann schreib deutlicher 1=... heisst  die rechte Seite hat den Wert 1!

Gruß lul