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Aufgabe:
Zur Approximation der bestimmten Integrale
\( I(f):=\int \limits_{-1}^{+1} f(x) \mathrm{d} x \)
bei stetiger Funktion \( f:[-1,+1] \rightarrow \mathbb{R} \) soll die Quadraturformel
\( J(f):=\alpha f(-\eta)+\beta f(\eta) \)
mit Gewichten \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) und Knoten \( \eta,-\eta \in[-1,1] \) mit \( \eta \neq 0 \) verwendet werden.

a) Bestimmen Sie die Gewichte für festes \( \eta \) derart, dass die Quadraturformel exakt ist für alle Polynome vom Grad kleinergleich 1.

c) Sei \( \eta=\frac{1}{2} \) und \( f \) zweimal stetig differenzierbar. Leiten Sie mit der Restgliedformel der Polynominterpolation eine Abschätzung
\( |I(f)-J(f)| \leq C \max _{x \in[-1,1]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \)
her, worin die Konstante \( C>0 \) möglichst klein sein soll. Die Konstante \( C \) soll als Zahlwert (Bruch) angegeben werden.


Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Zu a): Ich habe jetzt zwei Gleichungen:

(1) alpha + beta = 2

(2) -alpha*eta +beta*eta = 0

Aus (2) folgt dass alpha = beta. Wenn wir das in (1) einsetzen folgt dass alpha = beta = 1 ist.

Jetzt setze ich die Werte in (2) ein: -eta + eta = 0. Aber eta sollte nicht gleich 0 sein.

Wie bestimme ich eta?

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Beste Antwort

Es ist doch Gleichung (2) für jedes \(\eta\) erfüllt, nicht nur für \(\eta=0\).

Die Aufgabe sagt nun: Gewichte bestimmen für festes \(\eta\).

D.h. Du sollst \(\eta\) gar nicht bestimmen, sondern es als vorgegeben ansehen und dann nur die Gewichte bestimmen. Das hast Du ja gemacht, bist also fertig mit a).

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Ist dir was für die andere Frage eingefallen?

Da solltest Du, bevor Du hier fragst, bei der anderen Frage nachschauen. Danke.

Ich kann Dir dazu aktuell nur sagen, dass das Gleichungssystem, das erfüllt sein müsste für Exaktheit für alle Polynome vom Grad \(\le 6\) (das ja 7 Gleichungen mit 6 Unbekannten hat) nicht lösbar ist (laut wolframalpha). Das muss man halt nachweisen, irgendwie...

Meine Lösung :

Um zu zeigen, dass die Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6 sein kann, müssen wir ein Polynom \( p(x) \) mit Grad höchstens 6 finden, für das die Quadraturformel \( \tilde{J}(p) \) nicht den exakten Wert des Integrals \( I(p) \) liefert.

Die Quadraturformel \( \tilde{J}(f) \) lautet:

\[\tilde{J}(f) = \tilde{\alpha}_{1} f(\tilde{x}_{1}) + \tilde{\alpha}_{2} f(\tilde{x}_{2}) + \tilde{\alpha}_{3} f(\tilde{x}_{3})\]

Angenommen, die Quadraturformel \( \tilde{J} \) wäre exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6. Dann wäre \( \tilde{J}(p) \) für jedes solche Polynom \( p(x) \) gleich dem exakten Wert des Integrals \( I(p) \):

$$ \tilde{J}(p) = I(p) \quad \text{für alle Polynome } p(x) \text{ mit Grad höchstens 6} $$

Wir wählen nun ein spezielles Polynom \( p(x) \) mit Grad höchstens 6 aus, für das das Integral \( I(p) \) einfach berechenbar ist. Ein einfaches Beispiel dafür ist das Polynom \( p(x) = x^6 \). Nun berechnen wir das Integral \( I(p) \):

$$ I(p) = \int_{-1}^{+1} (|x| + 1) \cdot x^6 \, dx $$

Zur Berechnung des Integrals betrachten wir den Integranden \( (|x| + 1) \cdot x^6 \) für \( x \in [-1, 0] \) und \( x \in [0, 1] \) separat:

Für \( x \in [-1, 0] \) ist \( |x| = -x \), also:

$$ (|x| + 1) \cdot x^6 = (-x + 1) \cdot x^6 = -x^7 + x^6 $$

Für \( x \in [0, 1] \) ist \( |x| = x \), also:

$$ (|x| + 1) \cdot x^6 = (x + 1) \cdot x^6 = x^7 + x^6 $$

Jetzt berechnen wir das Integral \( I(p) \) für beide Intervalle und addieren die Ergebnisse:

$$ I(p) = \int_{-1}^{0} (-x^7 + x^6) \, dx + \int_{0}^{1} (x^7 + x^6) \, dx $$

Die Integration ergibt:

$$ I(p) = \left[ -\frac{1}{8}x^8 + \frac{1}{7}x^7 \right]_{-1}^0 + \left[ \frac{1}{8}x^8 + \frac{1}{7}x^7 \right]_{0}^1 $$

$$ I(p) = \left( -\frac{1}{8}(0)^8 + \frac{1}{7}(0)^7 \right) - \left( -\frac{1}{8}(-1)^8 + \frac{1}{7}(-1)^7 \right) + \left( \frac{1}{8}(1)^8 + \frac{1}{7}(1)^7 \right) - \left( \frac{1}{8}(0)^8 + \frac{1}{7}(0)^7 \right) $$

$$ I(p) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} $$

Nun betrachten wir die Quadraturformel \( \tilde{J} \) mit den neuen Knoten und Gewichten und berechnen \( \tilde{J}(p) \):

$$ \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{1} p(\tilde{x}_{1}) + \tilde{\alpha}_{2} p(\tilde{x}_{2}) + \tilde{\alpha}_{3} p(\tilde{x}_{3}) $$

Da \( p(x) = x^6 \), haben wir:

$$ \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{1} \tilde{x}_{1}^6 + \tilde{\alpha}_{2} \tilde{x}_{2}^6 + \tilde{\alpha}_{3} \tilde{x}_{3}^6 $$

Angenommen, die Quadraturformel \( \tilde{J} \) wäre exakt für \( p(x) = x^6 \), dann müsste \( \tilde{J}(p) \) den gleichen Wert wie \( I(p) \) haben:

$$ \tilde{J}(p) = I(p) = \frac{1}{4} $$

Jetzt wählen wir jedoch spezielle Knoten und Gewichte für \( \tilde{J} \), so dass das Integral \( I(p) \) mit der Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt berechnet werden kann. Zum Beispiel könnten wir die Knoten so wählen, dass \( \tilde{x}_{1} = 0 \) und \( \tilde{x}_{2} = \tilde{x}_{3} = 1 \) sind. Dadurch würde sich die Quadraturformel zu \( \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{2} + \tilde{\alpha}_{3} \) reduzieren. Um das Integral \( I(p) \) genau zu berechnen, müsste jedoch der Term \( \tilde{\alpha}_{1} \) im Ergebnis auftauchen, was hier nicht der Fall ist.

Da wir die Wahl der Knoten und Gewichte in der Quadraturformel \( \tilde{J} \) frei haben, können wir sie so wählen, dass sie nicht exakt für das spezielle Polynom \( p(x) = x^6 \) ist. Daher kann die Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6 sein.





meinst du, ist das richtig?

Nein. Was eine lange Rechnung für I(p) mit p(x)=x^6. I(p) für diesen Fall ist übrigens I(p)=15/28. Kannst Du mit Internettools leicht ausrechnen.

Hast Du überhaupt verstanden worum es geht? Hast Du meine Bemerkung oben überhaupt verstanden? Auch wenn es keine Lösung ist, solltest Du es verstehen.
Es geht nicht darum, dass man irgendwelche Gewichte/Knoten finden kann, so dass die Formel nicht exakt ist. Das ist keine Kunst.

Bevor Du nicht verstehst, worum es geht, machen Lösungsversuche keinen Sinn.

Hast Du meine Bemerkung oben überhaupt verstanden? Auch wenn es keine Lösung ist, solltest Du es verstehen.


Ich habe das so gelöst, bevor ich deine Bemerkung gesehen habe. Ich wollte nur zeigen, was ich gemacht habe

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