Hallo,
kommt dann am ende nicht einfach die simpson formel...
Ja - da kommt die Simpson Formel raus.
wie schreie ich das dann genau maathematisch auf
Abschreiben was da steht und Einsetzen, was man weiß - wie so oft ;-)
Die Vorgabe ist$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\,\text dx \approx \alpha \cdot \text{TR} + \beta \cdot \text{MR}$$Die (Sehnen-)Trapezregel und Mittelpunktregel sind definiert als:$$\text{TR.:}\space \int\limits_{a}^{b}f(x)\,\text dx \approx \frac{1}{2}\left(f(a)+f(b)\right)(b-a) \\ \text{MR.:}\space \int\limits_{a}^{b}f(x)\,\text dx \approx f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)$$Einsetzen und etwas umwandeln gibt$$\begin{aligned} \int\limits_{a}^{b}f(x)\,\text dx &\approx \alpha\frac{1}{2}\left(f(a)+f(b)\right)(b-a) + \beta f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a) \\ &\approx \left(\frac{\alpha}{2}f(a) + \beta f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{\alpha}{2}f(b)\right)(b-a) \end{aligned}$$So lassen sich unmittelbar die Knoten \(c_k'\) und die Gewichte \(b_k\) ablesen. Die Knoten normiere ich noch auf das Intervall \([0,\,1]\)$$\begin{aligned}c_k' &=\left\{a,\, \frac{a+b}{2},\, b\right\} \implies c_k= \left\{0,\, \frac{1}{2},\, 1\right\}\\ b_k &= \left\{\frac{\alpha}{2},\, \beta ,\,\frac{\alpha}{2}\right\}\end{aligned}$$Die Quadraturformel \(p\)'ter Ordung ist so definiert, dass sie für ein Polynom (hier im Intervall [0,1]) vom Grad \(\le p-1\) die exakte Lösung liefert. Das heißt$$\sum_{k=1}^{3} b_kc_k^{p-1} = \int\limits_{0}^{1} x^{p-1} = \frac 1p$$Nun setze die Knoten und Gewichte ein und prüfe mit welchem Wert von \(\alpha\) und \(\beta\) und bis zu welchem Wert von \(p\) dies erfüllt ist. Aus \(p=1\) folgt$$\begin{aligned}p=1: \quad b_1 + b_2 + b_3 &= 1 \\ \frac{\alpha}{2} + \beta + \frac{\alpha}{2} &= 1 \\ \implies \alpha &= 1- \beta \end{aligned}$$Mit diesem Zusammenhang geht man nun in die folgenden \(p\)$$\begin{aligned} p=2: && \frac{\alpha}{2} \cdot 0 + (1-\alpha) \cdot \frac 12 + \frac{\alpha}{2} \cdot 1 &= \frac{1}{2} \space \checkmark\\ p=3: && \frac14(1-\alpha) + \frac{\alpha}{2} &= \frac 13 \\ && \implies \alpha &= \frac 13\\ p=4: && \frac 18(1-\alpha) + \frac{\alpha}{2}&= \frac 14 \\ && \implies \alpha &= \frac 13\space \checkmark\\ p=5: && \frac1{16} (1-\alpha) + \frac{\alpha}{2}&= \frac 15 \\ && \implies \alpha &= \frac{11}{35}\ne \frac 13\\ \end{aligned}$$D.h. für \(p=4\) und \(\alpha = 1/3\) sowie \(\beta = 2/3\) wird jedes Polynom bis zum \(p-1=3\) Grad (kubisch) exakt durch die Quadraturformel integriert. Und wie Du schon vermutet hast, ist dies die Simpsonsche Formel.$$\int\limits_{a}^{b} f(x) \,\text{d}x \approx \left( \frac16f(a) + \frac23f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac16f(b)\right)(b-a)$$Gruß Werner
PS.: siehe auch diese Frage.
