Konvergenz eines unendlichen Produkts bestimmen

Question

Ich soll zeigen, dass das unendliche Produkt

$$\prod_{i=1}^{\infty}{\frac{(k+i)(i+1)}{i(k+1+i)}}$$

konvergiert und zudem soll ich den Wert bestimmen, gegen welchen das Produkt konvergiert. Ich weiß bereit, dass das Produkt gegen \( k+1 \)  konvergiert aber wie kann ich dies rechnerisch zeigen/beweisen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Du musst untersuchen, was mit dem Term

\(P_n = \prod_{i=1}^{\color{blue}{n}}\frac{(k+i)(i+1)}{i(k+1+i)}\)

für \(n\to\infty\) passiert.

Hier ist das recht einfach, denn das Produkt lässt sich in zwei sogenannte "Teleskopprodukte" zerlegen, die sich sofort auswerten lassen (dies bitte selbst mal probieren - megaeinfach):

\(P_n = \left(\prod_{i=1}^{n}\frac{i+1}{i} \right) \cdot \left(\prod_{i=1}^{n}\frac{i+k}{i+1+k}\right)=\frac{n+1}{1}\cdot \frac{1+k}{n+1+k}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}k+1\)

Comments

Danke für den Tipp. Ich habe das Produkt ausgeschrieben und gekürzt.

$$\prod_{i=1}^n\frac{(k+i)(i+1)}{i(k+1+i)}\\=\frac{\cancel{2}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{4}\cdots (n+1)\cdot (k+1)\cancel{(k+2)}\cancel{(k+3)}\cdots \cancel{(k+n)}}{1\cdot\cancel{2}\cdot\cancel{3}\cdots \cancel{n}\cdot\cancel{(k+2)}\cancel{(k+3)}\cancel{(k+3)}\cdots(k+n+1)}\\=\frac{(n+1)(k+1)}{k+n+1}$$

Anschließend habe ich den Grenzwert für \(n\to\infty\) bestimmt und so bin ich auf \(k+1\) gekommen. Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 2

Schreibe das Produkt mal konkret auf, wenn i von 1 bis 3 (statt von 1 bis unendlich) läuft.

Und wenn das Produkt von 1 bis n läuft?