Gibt es mehrere Lösungen?

Question

6. \( \sqrt[7]{11} \) in \( \mathbb{F}_{17} \). Gibt es mehrere Lösungen?
7. Besitzt 3 eine 110 -te Wurzel in \( \mathbb{F}_{11} \), d.h. existiert \( \sqrt[110]{3} \) in \( \mathbb{F}_{11} \) ? Wenn ja, berechnen Sie alle Wurzeln.
8. Besitzt 3 eine 110 -te Wurzel in \( \mathbb{F}_{13} \), d.h. existiert \( \sqrt[110]{3} \) in \( \mathbb{F}_{13} \) ? Wenn ja, berechnen Sie alle Wurzeln.

Ich verstehe nicht ganz, wie ich diese Teilaufgabe lösen soll.. Die Aufgabe wirkt zwar nicht besonders schwer, aber ich habe den Durchblick nicht :D

Wäre mega, wenn mir jemand die Antworten sagen könnte ^^

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Für 0 < x < 11 gilt x¹⁰ ≡ 1 mod 11, also hat x¹¹⁰ ≡ 3 keine Lösung in F₁₁.
8. hat die Lösungen ±4 in F₁₃.

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Danke :D

Wie sieht aber der Rechenweg aus?

Answer 1

Zu 6.:

Man kommt verhältnismäßig rasch zu \(3^7=11\).

Sei nun auch \(x^7=11\) für ein \(x\in \mathbb{F}_{17}^*\).

Dann muss \((3^{-1}x)^7=1\) sein, d.h. \((6x)^7=1\).

Folglich gilt ord\((6x)\; | \; 7\) und ord\((6x)\; | \; 16\),

so dass sich \(6x=1\) ergibt, also \(x=3\).

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Eine Verständnisfrage habe ich jetzt doch noch :D wie bist du von 3^-1 x auf 6x gekommen?

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\(3\cdot 6=18=1\) in \(\mathbb{F}_{17}\).

Answer 2

6. Du suchst also alle x aus F₁₇ mit x⁷ = 11

Ganz sicher, alle gefunden zu haben, kannst du sein,

wenn du alle 17 ausprobiert hast.

0⁷=0≠11 also 0 ist keine.

1⁷ = 1   auch keine

2⁷ = 2⁴*2³=16*8=-1*8=-8=9 mod 17, also 2 auch keine

3⁷=27*27*3  (mod 17 also) = 10*10*3=100*3 = -2*3=-6=11

Also ist 3 eine 7-te Wurzel aus 11 im Körper F17.

4⁷=2⁷*2⁷=(s. oben) -8*-8=64=13 mod 17 also 4 keine

5⁷= 25*25*25*5=8*8*8*5=64*8*5=13*40=13*6=78=10 mod 17 also 5 keine

etc.

Bei den größeren Zahlen kann es sinnvoll sein, z.B. statt mit 16 mit -1

und statt mit 15 mit 2 zu rechnen.

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Also klar kann man da alle durchprobieren und man erkennt das 3 tatsächlich die einzige Lösung ist. Aber geht das nicht auch irgendwie geschickter?

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Wie sieht es denn geschickter aus? :[] denke sowas ähnliches wird auch in der Prüfung vorkommen

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Siehe meine Antwort zu 6.

Answer 3

7.

Benutze hier den kleinen Fermat

a^(11 - 1) ≡ 1 mod 11

8.

Benutze auch hier den kleinen Fermat.

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Ich verstehe den Fazit nicht so ganz.

Was genau kann ich mit dem kleinen Fermat anfangen? Also wenn gelten soll

a^(11-1)≡1 mod 11, was kann ich daraus ableiten?

Das gleiche bei Aufgabe 8: Wenn ich jetzt sage a^(13-1)≡1 mod 13

was kann ich hierbei erkennen? Ich verstehe das irgendwie nicht ganz, ich wäre echt dankbar, wenn du mich aufklären könntest.