Zeigen Sie, dass B A diagonalisierbar ist.

Question

Seien \( A, B \in \mathbb{K}^{n, n} \). Es gelte \( A B \) ist diagonalisierbar und \( B \) sei invertierbar. Zeigen Sie, dass \( B A \) diagonalisierbar ist.

Answer 1

Wenn \(AB\) diagonalisierbar ist, dann existieren eine nichtsinguläre Matrix \(S\), sowie eine Diagonalmatrix \(D\) mit \(S^{-1}(AB)S=D\) oder anders ausgedrückt$$AB=SDS^{-1}.$$Multipliziere von links mit \(B\) und von rechts mit \(B^{-1}\), das nach Voraussetzung existiert, und erhalte$$BA\underbrace{BB^{-1}}_{E_n}=BSDS^{-1}B^{-1}.$$Daraus folgt$$BA=(BS)D(BS)^{-1}$$und daraus die Behauptung.

Comments

Vielen Dank!!

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Warum gilt S^(-1)*B^(-1)=(B*S)^-1?