Wahrscheinlichkeitstheorie Lebensdauer Chip

Question

Aufgabe:

Die Lebensdauer X eines Chips sei eine stetige Zufallsvariable mit E(X) = 6 Jahre, die
Varianz sei Var(X) = 36. Beachten Sie, dass eine Lebensdauer nicht negativ sein kann.
(a) Wie groß ist mindestens die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip zwischen 3 und 9
Jahre alt wird?
(b) Wie groß ist höchstens die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip 18 Jahre oder
älter wird?

Answer 1

Verwende die Tschebyscheffsche Ungleichung.

Answer 2

Aloha :)

Über die Zufallsvariable \(X\) ist bekannt:$$X\coloneqq\text{Lebensdauer}\quad;\quad \mu=6\quad;\quad\sigma^2=36$$Wir gehen von einer Normalverteilung mit \(\mu=6\) und \(\sigma=6\) aus.

(a) Wie groß ist mindestens die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip zwischen 3 und 9
Jahre alt wird?

$$P(3\le X\le 9)=P(X\le9)-P(X\le3)=\phi\left(\frac{9-\mu}{\sigma}\right)-\phi\left(\frac{3-\mu}{\sigma}\right)$$$$\phantom{P(3\le X\le 9)}=\phi(0,5)-\phi(-0,5)=\phi(0,5)-(1-\phi(0,5))=2\phi(0,5)-1$$$$\phantom{P(3\le X\le 9)}=2\cdot0,69146246-1=0,3829249\approx38,29\%$$

(b) Wie groß ist höchstens die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip 18 Jahre oder
älter wird?

$$P(X\ge18)=1-P(X\le18)=1-\phi\left(\frac{18-\mu}{\sigma}\right)=1-\phi(2)$$$$\phantom{P(X\ge18)}=1-0,97725=0,02275\approx2,275\%$$