Berechnen Sie die allgemeine Lösung der GDGL

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

\( \left(\begin{array}{l}\dot{x}_{1}(t) \\ \dot{x}_{2}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1}(t) \\ x_{2}(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\sin (t) \\ 0\end{array}\right) . \)

Problem/Ansatz:

Wie bekomme ich hier die homogene Lösung? Wir haben immer den Ansatz
\( x_{\mathrm{hom}}(t)=\exp (t A) c \)
benutzt, aber hier lässt sich die Matrix nicht diagonalisieren

Comments

Ich hätte es so gelöst. Ansonsten über die EW und EV lösen

Das x ganz oben links soll natürlich noch einen Punkt oben drüber haben!

Edit: Vergiss meine Antwort... Dachte es handelt sich bei X um eine Matrix...

Answer 1

Hallo,

Wie bekomme ich hier die homogene Lösung?

a) Eigenwerte:

det (A -λ E)=  0

$$\begin{vmatrix} 1-λ & 1  \\ 0 & 1-λ \end{vmatrix}$$ = 0

\( (1- λ)^{2} \) =0

λ_1,2=1

----->

x₁=C₁ e^x +C₂ x e^x

b) x₂=(1/a₁₂)(x1 ' -a₁₁x₁) allgemein , ohne Berechnung der Eigenvektoren

a₁₁=1

a₁₂=1

-> x1'= C₁ e^x +C₂ (x+1) e^x

-->

x₂ =  C₁ e^x +C2 (x+1) e^x - (C₁ e^x +C₂ x e^x)

x₂=C₂ (x+1) e^x -C₂ x e^x =C₂ x e^x +C₂ e^x -C₂ x e^x

x₂=C₂ e^x

----->

x₁=C₁ e^x +C₂ x e^x

x₂=C₂ e^x

Answer 2

Hallo

für die homogene Lösung eigenwerte und dann Eigenvektoren der Matrix bestimmen.

Gruß lul

Comments

Warum nicht einfach zunächst \(\dot x_2(t)=x_2(t)\) und damit
dann \(\dot x_1(t)=x_1(t)+x_2(t)+\sin(t)\) lösen?