Bestimmen Sie Parameter a,b,c

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine transformierte Funktion, die man mit einem Funktionsterm f(x)=asin(bx+c)

beschreiben kann.
Bestimmen Sie Parameter a,b,c
und die Periode T
, wenn die Funktion jeweils die genannten Bedingungen erfüllt:
Der Wertebereich ist [−6;6]
,
Die Nullstellen sind (kπ−π/4)⋅1/7,k∈Z
.
Fügen Sie bitte die Parameter und die Periode als reelle Zahlen
mit einer Präzision von zwei Stellen hinter dem Komma ein.

Problem/Ansatz:

a=6 hab ich rausbekommen, aber wie gehe ich dann weiter vor?

Answer 1

Hallo,

es gilt doch ganz allgemein \(\sin(0)=0\). Und die darauf folgende Nullstelle ist \(\sin(\pi)=0\). Gegeben sind die Nullstellen \(x_0\) mit$$x_0(k)= \left(k\pi−\frac{\pi}{4}\right)\cdot \frac{1}{7},\quad k\in\mathbb{Z}$$Und daraus folgt doch$$\begin{aligned}\sin({\color{red}0})=0 &\implies &b\left( x_0(0)\right)+c = {\color{red}0}  \\\sin({\color{green}\pi})=0 &\implies &b\left( x_0(1)\right)+c = {\color{green}\pi} \end{aligned}$$Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten \(b\) und \(c\). Jetzt setzt man den Ausdruck \(x_0(k)\) ein (und multipliziert gleich mit \(7\)):$$\begin{aligned} -\frac{\pi}{4} b + 7c &= 0\\ \frac34\pi b + 7c &= 7\pi\end{aligned}$$Die obere Gleichung von der unteren abgezogen gibt gleich $$\pi b = 7 \pi \implies b = 7$$und das in die obere eingesetzt gibt:$$-7 \cdot\frac{\pi}{4} + 7c = 0 \implies c = \frac{\pi}{4} \approx 0,79$$

Hier noch der Graph:

https://www.desmos.com/calculator/yx8tfpbnmw

... und wenn man mit $$\begin{aligned}\sin(0)=0 &\implies &b\left( x_0(1)\right)+c = 0  \\\sin(\pi)=0 &\implies &b\left( x_0(2)\right)+c = \pi \end{aligned}$$startet, erhält man die zweite Lösung!

Gruß Werner