Auf kritische Punkte untersuchen

Question

Aufgabe:

Überprüfe 4x² - 3xy auf kritische Punkte unter x² + y² ≤ 1

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Gleichung mit Lagrange zu lösen, scheitere aber daran beim Gleichsetzen die Ableitungen nach einer Variablen aufzulösen. Kann mir jemand helfen?

Als Lagrange Funktion habe ich L= 4x² -3xy + λ(x² + y² -1)

Comments

scheitere aber daran beim Gleichsetzen die Ableitungen nach einer Variablen aufzulösen.

Es wäre hilfreich zu sehen, wie deine Ableitungen aussehen.

Answer 1

L(x, y, k) = 4·x^2 - 3·x·y - k·(x^2 + y^2 - 1)

Gradient

L'(x, y, k) = [- 2·k·x + 8·x - 3·y, - 3·x - 2·k·y, - x^2 - y^2 + 1] = [0, 0, 0]

Eliminiere aus den ersten beiden Gleichungen das k und setze es dann in die dritte Gleichung ein

- 2·k·x + 8·x - 3·y = 0 --> k = (8·x - 3·y)/(2·x)

- 3·x - 2·k·y = 0 --> k = - 3·x/(2·y)

Jetzt also

(8·x - 3·y)/(2·x) = - 3·x/(2·y) --> y = - x/3 ∨ y = 3·x

Das setzt du jetzt also in die Hauptbedingung ein. Schaffst du das?

Ich erhalte folgende Lösungen

(x = - 3·√10/10 ∧ y = √10/10 ∧ k = 9/2) ∨ (x = 3·√10/10 ∧ y = - √10/10 ∧ k = 9/2) ∨ (x = - √10/10 ∧ y = - 3·√10/10 ∧ k = - 1/2) ∨ (x = √10/10 ∧ y = 3·√10/10 ∧ k = - 1/2)

Das war jetzt die Randuntersuchung. Natürlich findest du jetzt auch noch im inneren bei (x = 0 ∧ y = 0) eine kritische Stelle.

Answer 2

Aloha :)

Wir untersuchen die Funktion$$f(x;y)=4x^2-3xy$$zunächst ohne die Nebenbedingung auf kritische Punkte.

Dazu bestimmen wir die Nullstellen des Gradienten:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{8x-3y}{3x}$$Wegen der zweiten Koordinate \((0=3x)\) muss \(x=0\) sein. Dann folgt aus der ersten Koordinate \((0=8x-3y)\), dass auch \(y=0\) sein muss. Wir haben also einen kritischen Punkt \(\boxed{K_1(0|0)}\) gefunden, der insbesondere die Randbedingung \((x^2+y^2\le1)\) erfüllt.

Weitere kritische Punkte können noch auf dem Rand der Nebenbedingung existieren. Daher suchen wir im zweiten Schritt die kritischen Punkte von \(f\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g\):$$f(x;y)=4x^2-3xy\quad;\quad g(x;y)=x^2+y^2=1=\text{const}$$

Nach Lagrange muss in einem kritischen Punkt der Gradient der untersuchten Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{8x-3y}{3x}=\lambda\cdot\binom{2x}{2y}$$Wegen des Faktors \(\lambda\) müssen die beiden Gradienten kollinear sein, d.h. sie müssen parallel oder antiparallel zueinander liegen. Wir erinnern uns daran, dass die Determinante einer \(2\times2\)-Matrix die Fläche angibt, die ihre Reihenvektoren aufspannen. Da diese Fläche \(0\) sein muss, muss auch die Determinante \(0\) sein:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}8x-3y & 2x\\3x & 2y\end{array}\right|=(8x-3y)2y-3x\cdot 2x=-6x^2+16xy-6y^2$$Mit Hilfe der Nebenbedingung \(g(x;y)=x^2+y^2=1\) erhalten wir:$$0\stackrel!=16xy-6\,\underbrace{(x^2+y^2)}_{=1}=16xy-6\implies xy=\frac38$$

Die beiden Gleichungen \(x^2+y^2=1\) und \(xy=\frac38\) ergeben 4 Lösungen:$$x=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}\quad;\quad y=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}$$$$x=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}\quad;\quad y=-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}$$$$x=\frac{\sqrt{7}}{4}-\frac{1}{4}\quad;\quad y=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}$$$$x=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}\quad;\quad y=\frac{\sqrt{7}}{4}-\frac{1}{4}$$und damit 4 weitere kritische Punkte auf dem Rand der Nebenbedingung: