kritische Punkte der Funktion: f(x, y):= 3x^{3}-3x^{2}y-y^{3}-15x

Question

ich will die kritischen Punkte der Funktion: f(x, y):= 3x³-3x²y-y³-15x.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize++3x%5E(3)-3x%5E(2)y-y%5E(3)-15x

Die partiellen Ableitungen lauten:

f_x(x, y)= 9x²+6xy-15   und    f_y(x, y)= 3x²-3y²

Normalerweise hatte ich den Fall, dass die kritischen Punkte durch einfaches umformen oder durch Fallunterscheidung also x=0 leicht finden kann. Gleichungssysteme dieser Art zu lösen bereitet mir noch etwas Schwierigkeiten.

Hoffe jemand kann helfen :)

Answer 1

9x²+6xy-15 = 0    und    3x²-3y²  = 0

9x²+6xy-15 = 0    und    3(x-y)(x+y)= 0

9x²+6xy-15 = 0    und   ( x-y= 0 oder x+y=0 )

1. Fall x-y = 0 also  x=y dann hast du 

                         9x²+6x²-15 = 0   

                          15x²-15 = 0  

                           x=1 oder x= -1 

also 2 krit. Punkte (1;1) und (-1;-1) 

2. Fall x+y=0 also x=-y dann 

                                  9x²-6x²-15 = 0   

                                     3x²-15 = 0   

                                        x =±√5

also noch 2 Punkte (√5 : -√5) und  (-√5 : -5)