Komposition g o f injektiv, dann muss f injektiv sein.

Question

Seien A, B und C nicht leere Mengen sowie f: A→B und g: B→C Abbildungen. Zeigen Sie, dass f injektiv ist, falls g o f injektiv ist.

Mein Gegenbeispiel ist das folgende:

f: ℝ→ℝ, f(x) = x2  ist surjektiv
g: ℝ→ℝ, g(x) = 4\( \sqrt{x} \) ist injektiv
h: ℝ→ℝ, mit h = g o f ist dann h(x) = \( \sqrt{x} \) ist injektiv

Damit habe ich eine injektive Komposition der Form h = g o f, aber kein injektives f. Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?

Answer 1

\(h\) hat - anders als du es darstellst -

den Definitionsbereich \(\mathbb{R}_{\geq 0}\).

Dort ist \(f\) injektiv. Nebenbei: \(f\) ist nur surjektiv,

wenn man den Wertebereich einschränkt.

Comments

Erstmal danke für die schnelle Antwort.

Ich kann das also nicht einfach zuordnen, aber demnach müsste gelten:

f: ℝ → ℝ ≥0

g: ℝ ≥0 → ℝ ≥0

und damit h: ℝ → ℝ ≥0 wobei ℝ dann nicht zulässig wäre weil die Wurzel keine negativen x Werte zulässt. Damit wäre meine Konstruktion falsch. Kannst du das bestätigen?

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Ja. So ist es: dein Kompositum \(\sqrt{}\) ist nur für nichtnegative x

definiert, und dort ist f injektiv.

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Vielen Dank, das hat mit geholfen.